1 Inversor von Peaucellier: Abbildung einer Geraden auf eine Kurve 3. Ordnung Theory of the inversor of Peaucellier L'inverseur de Peaucellier Die Modellserie zur Theorie des Inversors von Peaucellier zeigt, wie auf mechanische Weise die Abbildung durch reziproke Werte oder Inversion am Kreis verwirklicht werden kann. Das vorliegende Modell kombiniert die Inversion mit einer Kissoidenkonstruktion. The model illustrates the theory of the inversor of Peaucellier, by which the inversion at a circle can be realized mechanically. Four bars of the length a are joined to form a rhombus ABCD; in the links C and D two further bars (lying in the same plane) of the length b are pivoted and joined with a point O. At every position of the inversor the points O, A, B are lying in a straight line. Is A taken as fixed point and O glides along a curve C, then B describes a curve C**, that is generated from C by inversion at a circle about the centre A and the construction of the cissoid between this curve and C. Le modèle représente l'inverseur de Peaucellier qui est utilisé pour la réalisation mécanique de l'inversion. Cet appareil se compose d'un losange ABCD formé de quarte tiges (de longueur a) articulées en leurs extrémités A, B, C, D et de deux tiges (de longueur b) articulées en deux sommets opposés C et D du losange et pouvant tourner autour du point O. Quelle que soit la position de l'appareil, les points O, A, B sont toujours en ligne droite. Lorsque A est le point fixe et O dècrit une courbe C, puis B décrira une courbe C** engendrée par l'inversion de C à un cercle de centre A et la construction de la cissoide de cette courbe et C. Vier gleich lange Stäbe von der Länge a sind in den Punkten A, B, C, D zu einem Rhombus verbunden, in den Gelenken C, D sind zwei weitere Stäbe von der Länge b (in der gleichen Ebene liegend) mit dem Punkt O gelenkig verbunden. In jeder Stellung des Apparates liegen die Punkte O,A,B in einer Geraden, und A, B sind Spiegelpunkte zu einem Kreis um O mit dem Radius <code>\sqrt{b^2-a^2}</code>. Macht man A zum Fixpunkt und führt O längs einer Kurve C, so beschreibt B eine Kurve C**, die aus C durch Inversion an einem Kreis um A und anschließende Kissoidenkonstruktion zwischen dieser Kurve und C hervorgeht. 48 x 66 x 7 1980 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 23.09.1959 78820-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Kinematik Inversor von Peaucellier Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-1/full/01_43.jpg 3 Eine Koppelkurve mit drei möglichen Gelenkvierecken (Satz von Roberts) The theorem of Roberts on three-bar motion Théorème de Roberts Der Satz von Roberts besagt, dass zu einem Gelenkviereck mit einer bestimmten Koppelkurve noch zwei weitere Gelenkvierecke gefunden werden können, welche dieselbe Koppelkurve besitzen. The model illustrates the theorem of Roberts, which says that to any given link quadrilateral with a certain three-bar curve two further quadrilaterals can be found which have the same three-bar curve. In his below mentioned paper A. Cayley gives the following construction, how to find a given link quadrilateral OABM with the coupled triangle ABC the two other link quadrilaterals, that have all the same three-bar curve. In the given figure the parallelograms OACD and BMFC are drawn. Over the sides DC and CF two trinagles are constructed, which are similar to the triangle ABC, such that for their angles holds: angle CDE = angle FCG = angle BAC, and angle DCE = angle CFG = angle ABC. By drawing the parallelogram ECGN one gets the third fixed point N. These three link quadrilaterals that force the point C on the same three-bar curve are marked by different colours in the model. Le modèle illustre le théorème de Roberts: A tout quadrilatère à joints articulés avec une trajectoire de couplage C* on peut retrouver deux autres quadrilatères ayant la même trajectoire C*: La construction suivante est dûe à A. Cayley: Soit donné un quadrilatère à joints articulés OABM et le triangle de couplage ABC. On trace les deux parallélogrammes OACD et BMFC et construit sur leurs côtés DC et CF deux triangles qui sont semblables au triangle ABC de sorte que pour leurs angles vaut angle CDE = angle FCG = angle BAC et angle DCE = angle CFG = angle ABC. Après avoir construit le parallélogramme ECGN on obtient le troisième point fixe N. Les trois quadrilatères à joints articulés qui commandent le point C sur la même trajectoire de couplage sont marqués par couleurs différentes. Um zu einem Gelenviereck OABM mit dem Koppeldreieck ABC die beiden anderen möglichen Gelenkvierecke zu finden, mit denen C verbunden die gleiche Koppelkurve durchläuft, kann man die zuerst von Cayley angegebene Konstruktion benutzen: Man ergänze die gegebene Figur durch die Parallelogramme OACD und BMFC. Sodann errichte man über DC und CF zum Koppeldreieck ähnliche Dreiecke, und zwar derart, dass die Winkel CDE , FCG, BAC gleich werden und auch die Winkel DCE, CFG, ABC. Schließlich errichte man das Parallogramm ECGN und erhält so den dritten Fixpunkt (Lagerpunkt) N. Die drei Gelenkvierecke, die den Punkt C auf die gleiche Koppelkurve zwingen, sind im Modell durch verschieden Farben hervorgehoben. 40 x 49 x 6 1750 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 23.09.1959 97612-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Kinematik Sammlung Dresden Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-1/full/01_48.jpg 4 Durchdringungsphänomene von zwei dreiseitigen Pyramiden Three penetration of two triangular pyramids L'intersection de deux pyramides triangulaires Die Modellreihe zeigt Durchdringungsphänomene von zwei dreiseitigen Pyramiden. Die eine Pyramide kann herausgezogen werden, sodass das Durchdringungspolygon in der anderen Pyramide deutlich erkennbar wird. In diesem Modell schneiden alle drei Seitenkanten der einen Pyramide die Seitenflächen der zweiten Pyramide. Das Durchdringungspolygon zerfällt in zwei getrennte Polygone. es liegt eine "vollständige Durchdringung" vor. The models show the penetration of two triangular pyramids, where three different cases arise. In all these models one pyramid can be pulled out, in order to show quite clear the curve of intersection. In this model all three edges of one pyramide intersect the lateral faces of the other one; the curve of intersection splits up into two distinct polygons. Les modèles montrent l'intersection de deux pyramides triangulaires. On peut détirer une des pyramides de l'autre; ainsi la courbe de pénétration est bien visible. En modèle les trois arêtes de l'une pyramide coupent les faces de l'autre; la courbe de pénétration se sompose de deux polygones sans points communs. 1. Pyramide: Dreieck 20,5 x 20 x 16, Höhe 21; 2. Pyramide: Dreieck 20 x 17,5 x 16, Höhe 24 500 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) ca. 1962 78784-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff Darstellende Geometrie, Elementarmathematik, Konstruktive Geometrie Polyeder, Schnittaufgaben Durchdringungen Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-1/full/01_51.jpg 5 Drei Durchdringungsphänomene von zwei dreiseitigen Prismen Three penetrations of two triangular prisms Die Modelle zeigen drei Durchdringungsphänomene von zwei dreiseitigen Prismen. Das eine Prisma kann herausgezogen werden, so dass das Durchdringungspolygon im anderen Prisma deutlich erkennbar wird. Im linken Modell schneiden alle drei Seitenkanten des einen Prismas die Seitenflächen des zweiten Prismas. Es liegt eine "vollständige Durchdringung" vor. Im mittleren Modell schneidet eine Seitenkante des einen Prismas eine Seitenkante des anderen Prismas. Das Schnittpolygon zerfällt in diesem Falle in zwei Polygone mit einem gemeinsamen Eckpunkt. Im rechten Modell schneidet eine Seitenkante des einen Prismas das zweite Prisma nicht. Es liegt hier der Fall des "Anschneidens" vor. The models show the penetration of two triangular prisms. One prism can be pulled out, in order to show clear the polygon of penetration in the other prism. Three different cases of penetration can be distinguished: In the left model all three edges of the white prism intersect the faces of the second prism. In the centre model one edge of the one prism intersects one edge of the other prism. One gets two polygons of intersection with one corner in common. In the right model one edge of the one prism does not intersect the other prism. 15 x 24 x 30 je 530 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) ca. 1962 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff Elementarmathematik, Darstellende Geometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Schnittaufgaben, Polyeder Durchdringungen Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-1/full/01_53.jpg 6 Durchdringungsphänomene einer Pyramide mit einem Prisma Three intersection of a triangular pyramid and a tringular prism Die Modelle zeigen drei Durchdringungsphänomene von einer dreiseitigen Pyramide mit einem dreiseitigen Prisma. Das Prisma kann in allen drei Fällen herausgezogen werden, so dass das Durchdringungspolygon in der Pyramide deutlich erkennbar wird. Im linken Modell schneiden alle drei Seitenkanten des Prismas die Pyramide. Das Schnittpolygon zerfällt in zwei getrennte Polygone. Im mittleren Modell schneidet eine Seitenkante des Prismas eine Seitenkante der Pyramide. Das Schnittpolygon hat einen Doppelpunkt im Kantenschnittpunkt. Im rechten Modell schneidet eine Seitenkante des Prismas die Pyramide nicht. Hier existiert nur ein geschlossenes räumliches Vieleck als Durchdringungspolygon. Es liegt der Fall des "Anschneidens" vor. The models show the intersection of a triangular pyramid and a triangular prism. In all three models the prism can be pulled out; the curve of intersection is clearly to be seen. In the left model all three edges of the prism intersect the pyramid; one obtains two distinct polygons of intersection. In the centre model one edge of the prism intersects one edge of the pyramid; the curve of intersection splits up into two polygons having one common corner. In the right model one edge of the prism does not intersect the pyramid; here one closed space polygon occurs as curve of intersection. 23 x 21 x 27,5 450 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) ca. 1962 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff Elementarmathematik, Darstellende Geometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Schnittaufgaben, Polyeder Durchdringungen Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-1/full/01_57.jpg 9 Drahtmodell der Kleinschen Flasche (Kleinscher Schlauch) Wiremodel of the Klein Bottle Surface de Klein Das Modell zeigt eine von Klein angegebene einseitige Fläche mit geschlossener ganz im Endlichen verlaufenden Selbstdurchdringungskurve. Die Fläche ist längs einer geschlossenen Kurve in zwei Teile zerlegt worden, die gegeneinander verschwenkbar sind. Die Schnittkurve ist so gewählt, dass jede Teilfläche ein Möbiussches Gand darstellt. The model shows a one-sided surface with a closed curve of self-penetration, wholly situated in the finite. The surface can be divided into two parts, each of which represents a Moebius band. Felix Klein was the first who descibed a surface of this kind. Le modèle montre la surface de Klein, c'est une surface unilatérale, dont la courbe de pénétration est fermée et située tout entier au finite. La surface se compose de deux parties, chacune des parties est une surface de Moebius. 38 x 23 x 12,5 1100 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 30.07.1958 78815-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Topologie Sammlung Dresden einseitige Flächen Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-1/full/03_48.jpg 10 Reliefperspektive dreier Grundkörper In einem Guckkasten befinden sich drei Grundkörper (Kegel auf Würfel, Obelisk, Kugel auf Drehzylinder) in reliefperspektivischer Darstellung. Die Verzerrung wurde auf einen Augpunkt 60cm vor dem Objekt berechnet. Die Rückseite des Kastens kann weggeklappt werden. Das Modell ist die Rekonstruktion eines historischen Modells von Ludwig Burmester, der 1883 eine Serie aus drei Modellen für den Unterricht an Kunsthochschulen entwickelte. Es wurde mit freundlicher Unterstützung durch Joachim Weinhold von der UdK-Berlin in einem 3D-Drucker von Z-Corporation hergestellt. Die Rekonstruktion in der Modellierungssoftware Cinema4D sowie der Guckkasten stammen von Daniel Lordick. Nähere Informationen entnimmt man auch diesem <a href=http://www.lordick.darstellende-geometrie.de/docs/Lordick_Burmester.pdf target=_blank>Text (pdf)</a>. 14,5 x 37 x 52 2004 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle 3-D-Druck auf Gipsbasis Ludwig Burmester (1840 bis 1927) Darstellende Geometrie Sammlung Dresden Abbildungsmethoden, Zentralprojektion, Perspektive Reliefperspektive modellfotos/2005-Juni-3-1/full/DSC_0169.jpg 189 Durchdringung zweier Drehkegel: Anschnitt Penetration of two right circular cones L'intersection de deux cônes droits circulaires Das Modell zeigt ein Durchdringungsphänomen von zwei Drehkegeln. Einer der beiden Kegel kann herausgezogen werden, so dass die Durchdringungskurve im anderen deutlich erkennbar wird. In diesem Modell liegen die beiden Kegel derart, dass jeder der Mäntel der beiden Kegel Mantellinien besitzt, die den anderen Kegel nicht schneiden. In diesem Fall des "Anschneidens" ist die Schnittkurve eine geschlossene Raumkurve ohne Doppelpunkt. The model shows the penetration of two right circular cones, whereas one cone can be pulled out in order to show the curve of intersection clearly. In this model the cones are situated such as that each cone has straight lines of the surface that do not intersect the surface of the other cone. In this case the intersection is a closed space curve without double points. Le modèle montre l'intersection de deux cônes droits circulaires. On peut détirer un des cônes, ainsi la courbe de pénétration est bien visible. En modèle la position relative des cônes est de telle manière, qu'il y a des droites dans la nappe de l'un cône, qui ne coupent pas l'autre. La courbe de pénétration est fermée sans point doubles. 19,5 x 22 / 14 x 24,5 400 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 1962 97513-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff, Metall Darstellende Geometrie, Elementarmathematik Sammlung Dresden Schnittaufgaben, Kurven 4. Ordnung Durchdringungen Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-4-3/full/DSC_0013-k-ansc.jpg 190 Durchdringung zweier Drehkegel: Zweiteilige Raumkurve Penetration of two right circular cones L'intersection de deux cônes droits circulaires Das Modell zeigt ein Durchdringungsphänomen von zwei Drehkegeln. Einer der beiden Kegel kann herausgezogen werden, so dass die Durchdringungskurve im anderen deutlich erkennbar wird. In diesem Modell schneiden alle Mantellinien des einen Kegels den Zweiten; die Schnittkurve, eine Raumkurve vierter Ordnung, besteht aus zwei getrennte Teilen. Es liegt eine vollständige Durchdringung vor. The model shows the penetration of two right cirular cones, whereas one cone can be pulled out in order to show the curve of intersection clearly. In this model all the straight lines of the surface of one cone intersect the second one and one obtains two distinct space curves as intersection. Le modèle montre l'intersection de deux cônes droits circulaires. On peut détirer un de cônes, ainsi la courbe de pénétration est bien visible. En modèle tout le génératrices de l'un cône coupent l'autre; la courbe de pénétration se compose de deux courbes fermées en space. Drehkegel sind Flächen zweiter Ordnung. Wenn sich zwei Flächen zweiter Ordnung schneiden, entsteht im Allgemeinen eine Schnittkurve vierter Ordnung. Diese kann maximal einen Doppelpunkt besitzen. Treten zwei Doppelpunkte auf, so zerfällt die Kurve in zwei (ebene) Kurven zweiter Ordnung. 19,5 x 22 /14 x 24,5 400 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 1961 97514-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff, Metall Darstellende Geometrie, Elementarmathematik Sammlung Dresden Schnittaufgaben, Kurven 4. Ordnung Durchdringungen Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-4-3/full/DSC_0013-k-voll.jpg 191 Durchdringung zweier Drehkegel: Zerfallende Schnittkurve Penetration of two right circular cones L'intersection de deux cônes droits circulaires Das Modell zeigt ein Durchdringungsphänomen von zwei Drehkegeln. Einer der beiden Kegel kann herausgezogen werden, wodurch der andere in zwei Teile zerfällt. In diesem Modell besitzen die beiden Kegel zwei gemeinsame Tangentialebenen. Die Schnittkurve zerfällt in zwei Ellipsen. The model shows the penetration of two right circular cones whereas one of them can be pulled out in order to show the curve of intersection clearly. In this model both cones have two tangency planes in common; the curve of intersection splits up into two ellipses. Le modèle montre l'intersection de deux cônes droits circulaires. On peut détirer un des cônes, ainsi la courbe de pénétration est bien visible. En modèle les deux cônes ont deux plans tangents communs, l'intersection se compose de deux ellipses. Drehkegel sind Flächen zweiter Ordnung. Wenn sich zwei Flächen zweiter Ordnung schneiden, entsteht im Allgemeinen eine Schnittkurve vierter Ordnung. Diese kann maximal einen Doppelpunkt besitzen. Treten zwei Doppelpunkte auf, so zerfällt die Kurve in zwei (ebene) Kurven zweiter Ordnung. 19,5 x 22 /14 x 24,5 400 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 1962 97515-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff, Metall Darstellende Geometrie, Elementarmathematik Sammlung Dresden Schnittaufgaben, Kurven 4. Ordnung Durchdringungen Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-4-3/full/DSC_0013-k-zerf.jpg 203 Schnittgerade zweier Ebenen mit Höhenlinien Intersection line of two planes L'intersection de deux planes Das Modell zeigt die Schnittgerade zweier Ebenen, die durch ihre Spurgeraden, Neigungswinkel und Fallrichtungen gegeben sind, und lässt erkennen, dass die Schnittpunkte solcher Höhenlinien der beiden Ebenen, die in gleicher Höhe gelegen sind, die Schnittgerade bestimmen. This model illustrates the construction of the intersection line of two planes, wich are given by their traces, the directions of their vertical lines (orthogonal trajectories of the horizontal lines), and their inclination angles. Further the model shows the intersection lines of these planes with several horizontal planes, in order to demonstrate, that the intersection points of equal horizontal lines are situated on the intersection line of the two planes. Le modèle représent l'intersection de deux planes. Les plans sont donnés par leurs traces et leurs angles d'inclinaison. Le modèle montre encore l'intersection de ces plans avec quelques plans horizontaux; l'on voit que les points d'intersection des horizontales d'égale hauteur sont situés sur la droite d'intersection des deux plans. 19 x 17 x 14,5 330 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 1961 97526-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff, Metall Elementarmathematik, Darstellende Geometrie Sammlung Dresden Schnittaufgaben Durchdringungen Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-1/full/04_42.jpg 207 Fadenmodell der Tangentenfläche einer Raumkurve 4. Ordnung zweiter Art, deren Selbstschnitt ein dreifach zu zählender Kreis ist Das Modell zeigt die abwickelbare Fläche einer Raumkurve 4. Ordnung mit zwei Streckungspunkten, welche als teilweiser Schnitt eines Hyperboloides und einer Fläche 3. Ordnung dargestellt werden kann. Die beiden Punkte mit Wendeebenen fallen mit den Schnittpunkten der beiden schneidenden Kurventangenten zusammen. Die Kurve ist in Bezug auf eine Achse des Hyperboloids symmetrisch. Die abgewickelte Fläche besitzt eine dreifache Kurve - im Modell ist sie ein Kreis. Messinggestell, schwarz gebeizt, evtl. SerieXXI, Modelle der abwickelbaren Flächen der Raumkurven vierter Ordnung zweiter Spezies nach Prof. K. Rohn, Kgl. Technische Hochschule Dresden. Das Modell ist in der ständigen Ausstellung des Stadtmuseums Dresden (Landhaus) zu sehen. 20 x 20 x 19 638,5 Schilling (Verlag Martin Schilling) 12.11.1960 Seit 18.10.2006 im Stadtmuseum Dresden 97709-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Seidenfäden, Metall Karl Rohn (1855-1920) Geometrie, Projektive Geometrie, Algebraische Geometrie Sammlung Dresden Kurven 4. Ordnung, Regelflächen, Flächen 2. Ordnung (Quadriken) Torsen der Raumkurven 4. Ordnung Schilling modellfotos/2005-Juni-4-1/full/DSC_0088-k.jpg 211 Die abwickelbare Regelschraubenfläche (1. Fall) Der Neigungswinkel der Erzeugenden gegen die Ebene senkrecht zur Achse, den „Normalschnitt", ist gleich dem der Tangente der Kehlschraubenlinie (ihrem Steigungswinkel). Der Schnitt normal zur Achse ergibt die gemeine Kreisevolvente. Die Schraubenlinie des Gestells ist eine Doppellinie der Fläche. Dem Modell war ursprünglich die Abwicklung eines Flächenstücks beigelegt. Eine Schraubenfläche wird von einer Kurve beschrieben, die um eine Achse eine Schraubenbewegung ausführt. Wird eine Gerade als diese Kurve gewählt, so unterscheidet man geschlossene und offene Schraubenflächen, je nachdem die gebrauchte Gerade die Schraubachse trifft oder nicht. Von den offenen Schraubenflächen sind ferner drei Hauptfälle zu unterscheiden, welche die Modelle 1 bis 3 dieser Serie darstellen. Von den in der Technik besonders benutzten geschlossenen Schraubenflächen zeigen die Modelle 4 und 5 zwei Hauptfälle. Bei den offenen Schraubenflächen bezeichnet man als „Kehlschraubenlinie" den Ort, den der Schnittpunkt der Geraden und ihres kürzesten Abstandes mit der Achse bei der Schraubung beschreibt. Die Erzeugenden der Fläche sind durch gelbe, die Doppellinien durch rote Fäden bezeichnet. Es ist ein Gang der Schraubenfläche dargestellt, letztere durch einen koaxialen Zylinder begrenzt. 20 x 22 625 Schilling (Verlag Martin Schilling) 04.11.1960 97533-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Seidenfäden, Metall Herrmann Wiener Algebraische Geometrie, Darstellende Geometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Schraubflächen, Regelflächen Schraubregelflächen C. Tesch Schilling modellfotos/2003-2/full/19_58.jpg 224 Regelfläche 4. Ordnung mit dreifacher Geraden und vier reellen Zwickpunkten four pinchpoints Regelfläche 4. Ordnung mit dreifacher Geraden und vier reellen Zwickpunkten. Alle Erzeugenden treffen eine weitere Leitgerade. Diese Fläche besitzt einen Mantel, der an vier Stelle eine Faltung zeigt. 17,5 x 17,5 x 19 547 Schilling (Verlag Martin Schilling) 12.11.1960 Staatliches Museum für Archäologie Chemnitz 97537-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Seidenfäden, Metall Karl Rohn (1855-1920) Liniengeometrie, Algebraische Geometrie Sammlung Dresden Regelflächen, Flächen 4. Ordnung (Quartiken) Regelflächen 4. Ordnung, Rohn Schilling modellfotos/2005-Juni-4-4/full/DSC_0014-k.jpg 234 Binormalenfläche einer Schraubenlinie Binormal surface of a circular helix Surface des binormales d'une hélice Das Modell zeigt die Binormalenfläche einer Schraubenlinie. Diese ist durch zwei zur Achse der Schraubenlinie senkrechte Ebenen begrenzt, deren Abstand gleich der Ganghöhe der Schraubenlinie ist. The model shows the binormal surface of a circular helix, limited by two sections perpendicular to the axis, where the distance of these two planes is equal to the pitch of the circular helix. Le modèle représent la surface des binormales d'une hélice, limitée à deux plans perpendiculaires à l'axe de l'hélice. La distance entre les plans est égale au pas de l'hélice. 62 x 38 x 37 1550 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 1958 97556-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall, Gummi, Kunststoff Kinematik, Differentialgeometrie Sammlung Dresden Regelflächen, Schraubflächen, Kurventheorie Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-1/full/05_44.jpg 239 Fläche mit einem Jochpunkt The algebraic surface z = xy (x²-y²) / (x²+y²) La surface z = xy (x²-y²) / (x²+y²) Das Modell zeigt in einem kartesischen Koordinatensysem die algebraische Fläche <code>z = x\cdot y \cdot \frac{ x^2 - y^2 }{ x^2 + y^2}</code>. Diese Fläche ist dargestellt durch ihre Schnitte mit koaxialen Zylindern x^2 + y^2 = r^2 und mit den Ebenen durch die z-Achse in Winkelabständen von 22,5°. Diese Ebenen schneiden die Fläche abwechselnd in Parabeln und Geraden der Ebene z = 0. In Zylinderkoordinaten lautet die Gleichung der Fläche z = 1/4 * r^2 * sin(4 * phi). Im Koordinatenursprung besitzt die Fläche einen sogenannten Jochpunkt, in dem vier Senken und vier Erhebungen zusammenstoßen. Die Funktion ist dort stetig, die Tangentialebene ist z = 0. Ein Extremwert liegt in diesem Punkt nicht vor. The model shows in a Cartesian x,y,z-coordinate system the algebraic surface z = xy (x²-y²) / (x²+y²), which is represented by ist intersections with coaxial cylinders x² + y² = r² and with the planes laid through the z-axis at angle distances of 22,5 °. On th esurface these planes mark alternately parables and straight lines of the plane z = 0. In cylindrical coordinates the equation of the surface is z = 1/4 r² sin 4 phi. At the origin the above function is continuous, and the surface represented by this function has a tangent plane parallel to the plane z = 0 in this point. The function doesn't take an extreme value at the origin. Le modèle montre la surface z = xy (x²-y²) / (x²+y²), dans un système de coordonnées rectangulaires. La surface est représentée par ses intersections avec des cylindres coaxiales x² + y² = r² et avec les plans menés par l'axe de z en distances angulaires de 22,5°. Sur la surface ces plans tracent alternativement des paraboles et des droites du plan z = 0. En coordonnées cylindriques l'équation de la surface est z = 1/4 r² sin 4 phi. A l'origine cette fonction est continue, et la surface représentée par cette fonction a pour plan tangent le plan z = 0 à l'origine; la fonction ne prend pas un valeur extrême en ce point. 23 x 23 x31 750 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 21.11.58 97561-000, Marke: S 88/6040 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Algebraische Geometrie, Analysis Algebraische Flächen, Funktionentheorie Singularität im Koordinatenursprung Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-1/full/11_41.jpg 258 Rotoidenwendelfläche mit Selbstschnitt A one-side ruled surface Une surface réglée unilatérale Gegeben sind ein Leitkreis k (schwarz) und eine zur Drehachse des Kreises parallele Gerade AB (im Modell: kürzester Stab mit den Endpunkten A und B), die mit k den gemeinsamen Punkt P besitzt. Nun wird die Ebene durch Kreisachse und Gerade AB um die Kreisachse und dabei außerdem die Gerade AB um den Punkt P so weitergedreht, dass der Winkel, um den die Ebene gedreht wird, doppelt so groß ist, wie der Winkel, um den die Gerade um P gedreht wird. Wenn P auf diese Weise den Leitkreis k einmal durchlaufen hat, erreicht die durch AB und die Kreisachse aufgespannte Ebene wieder ihre Ausgangslage, wogegen die Gerade AB um 180° gedreht ist. Das Modell stellt damit eine einseitige Regelfläche dar. Verdeutlicht wird diese Einseitigkeit durch die rot-weiße Färbung der einzelnen Stäbe. Die erzeugenden Geraden sind im Modell bis zum Selbstschnitt der Fläche sichtbar. The model shows a one-sided ruled surface, generated by the movement of a straight line. There are given a circle k an a straight line AB; AB is parallel to the axis of the circle and ist centre M is situated on k (starting position). The plane through the axis of the circle rotates about this axis, and simultaneously AB rotates in this same plane about M such that the angle of the first rotation is twice the angle of the second rotation. In this model those parts of the generating lines are represented as one receives to the curve of selfpenetration. This one-sided ruled surface has the following parametric equations. If phi denotes the angle of rotation of the segment AB, r the radius of k, and lambda the distance from M of a point P of AB, x = (r - lamda * sin(phi)) cos(2 * phi), y = (r - lamda * sin(phi)) sin(2 * phi), z = lamda * cos(phi), are the coordinates of P in a certain Cartesian coordinate system, the z-axis of which coincides with the axis of k, its origin is the centre of k. Le modèle montre une surface réglée unilatérale engendrée par le mouvement d'une droite. En modèle un cercle k et un droite AB sont donnés; AB est parallèle à l'axe du cercle et son milieu M est situé sur k. Le plan par l'axe du cercle fait une rotation autour de cet axe et en même temps AB fait une rotation dans ce plan autour de M de sorte que l'angle de la première rotation est deux fois l'angle de la deuxième rotation. Cette surface a les équations paramétriques suivantes: x = (r - lamda * sin(phi)) cos(2 * phi), y = (r - lamda * sin(phi)) sin(2 * phi), z = lamda * cos(phi) (phi = l'angle de rotation de AB; r = rayon de k; lambda = distance entre M et un point P de AB). x, y, z sont les coordonnées des points de la surface dans une système de cooronnées rectangulaires, dont l'axe des z coïncide avec l'axe de k; son origine est le centre de k. Die so erzeugte einseitige Regelfläche hat die folgende Parametergdarstellung. Wird der Drehwinkel der Strecke AB gleich phi, der Radius von k gleich r und der Abstand eines belibigen Punktes P auf AB gleich lambda gesetzt, so haben die Koordinaten von P in einem gewissen kartesischen Koordinatensystem mit dem Mittelpunkt M von k als Ursprung und der Achse von k als z-Achse die Werte x = (r - lamda * sin(phi)) cos(2 * phi) y = (r - lamda * sin(phi)) sin(2 * phi) z = lamda * cos(phi) 93 x 8,5 x 13,5 570 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 24.04.1958 97580-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall Liniengeometrie, Konstruktive Geometrie, Differentialgeometrie Sammlung Dresden einseitige Flächen, Flächen 3. Ordnung (Kubiken), Regelflächen Rotoidenwendelflächen Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-1/full/08_49.jpg 259 Gerades Konoid mit Kreis als Leitkurve A special right conoid Conoïde droit ayant pour directrice un cercle Gegeben sind ein Kreis k und eine die Kreisachse schneidende Gerade g (beide rot). Die Erzeugenden des Konoids sind zu g senkrechte Geraden, die sowohl g als auch k schneiden. Das Modell enthält neben diesen Erzeugenden auch Schnittkurven mit zur Kreisebene parallelen Trägerebenen (Ellipsen). Es handelt sich dabei um die Schar projektiver Kegelschnitte, die jedes Konoid vierten Grades auszeichnet. Die verdickten Erzeugenden sind Torsallinien, das heißt Linien einfacher Krümmung. Sie schneiden die Leitgerade in den Kuspidalpunkten. Zwei weitere (zylindrische) Torsallinien liegen in der zur Leitgeraden normalen Symmetrieebene des Konoids. Bei geschickter Aufstellung sind die Umrisse des Modells unter Normalprojektion auf drei zueinander orthogonale Bildebenen Quadrat, Dreieck und Kreis. Konoide finden im Gewölbebau Verwendung. The model represents a special right conoid, which is the locus of a line perpendicular to a fixed line, called the axis, and intersects the circumference of a circle whose axis intersects this fixed line at a right angle. The generating lines of the conoid are to be seen, further its intersection with planes parallel to the plane of the circle. Le modèle représent un conoïde ayant pour directrice un cercle et une droite. Cette surface est engendrée par une génératrice rectiligne, qui s'appuie sur chacune d'elles en restant parallèle à un plan de profil. Le modèle contient aussi des sections parallèles au plan du cercle. Im Allgemeinen wird eine windschiefe Regelfläche durch drei Leitkurven festgelegt. Ist eine der Leitkurven eine Gerade, so heißt die Regelfläche Gebüschfläche. Sind zwei Leitkurven geradlinig, so erhält man eine Netzfläche. Jede Netzfläche ist im doppelten Sinn Gebüschfläche. Lassen sich drei geradlinige Leitkurven feststellen, so liegt ein Regulus vor. Jeder Regulus ist zweiten Grades und wird von zwei Erzeugendenscharen überzogen. Ist eine Erzeugende (Leitgerade) Ferngerade, so heißt der Regulus hyperbolisches Paraboloid, im anderen Fall einschaliges Hyperboloid. Wenn die Erzeugenden zu einer Ebene (Richtebene) parallel sind, heißt die Regelfläche konoidale Fläche. In diesem Fall fungiert die Ferngerade der Richtebene als eine Leitkurve. Jede konoidale Fläche ist darum eine spezielle Gebüschfläche. Enthält die Regelfläche eine weitere Leitgerade, so heißt sie Konoid, insbesondere gerades Konoid, wenn die zweite Leitgerade zur Richtebene normal ist - so wie im vorliegenden Fall. Jedes Konoid ist also eine spezielle Netzfläche. 24 x 24 x 24,5 420 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 24.04.1958 97581-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall Liniengeometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Regelflächen, Flächen 4. Ordnung (Quartiken) Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-1/full/06_56.jpg 264 Einseitige Regelfläche (Möbiusband) A one-side ruled surface Une surface réglée unilatérale Gegeben sind eine Strecke AB (rot, weiß) und ein Leitkreis k (schwarz), sodass der Mittelpunkt M der Strecke auf k liegt und AB senkrecht zu der Tangente des Leitkreises in M ist. Nun wird diese Strecke so weitergedreht, dass M immer noch auf k liegt, AB senkrecht zur Tangente des Kreises in M ist und AB dabei gerade halb so weit um M gedreht wird, wie M um den Mittelpunkt des Kreises. Auf diese Weise ergibt sich eine Regelfläche, welche einseitig ist, da die Strecke AB, wenn M wieder in der Ausgangslage ankommt, um 180° gedreht ist. Verdeutlicht wird diese Einseitigkeit im Modell außerdem noch durch die rot-weiße Färbung der einzelnen Strecken, wobei die roten Stücke den einen und die weißen den anderen Teil der Fläche darstellen und irgendwann der rote in den weißen Teil der Fläche übergeht. Topologisch handelt es sich um ein sogenanntes Möbiusband. The model shows a one-sided ruled surface, generated by the movement of a straight line. There are given a circle k an a segment AB; AB is parallel to the axis of the circle and ist centre M is situated on k (starting position). The plane through the axis of the circle rotates about this axis, and simultaneously AB rotates in this same plane about M such that the angle of the first rotation is twice the angle of the second rotation. Le modèle montre une surface réglée unilatérale engendrée par le mouvement d'une droite. En modèle un cercle k et un segment AB sont donnés; AB est parallèle à l'axe du cercle et son milieu M est situé sur k. Le plan par l'axe du cercle fait une rotation autour de cet axe et en même temps AB fait une rotation dans ce plan autour de M de sorte que l'angle de la première rotation est deux fois l'angle de la deuxième rotation. 27 x 30 x 10,5 250 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 24.04.1958 97586-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Liniengeometrie, Differentialgeometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden einseitige Flächen, Regelflächen, Flächen 3. Ordnung (Kubiken) Rotoidenwendelflächen Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-1/full/11_51.jpg 267 Drahtmodell einer Glockenfläche A surface of revolution of a curve, which has one point of inflexion (Bell-shaped surface) Surface de révolution d'une courbe dont la courbe méridienne contient un point d'inflexion Dieses Modell veranschaulicht durch Meridiane und Breitenkreise (Parallelkreise) eine Drehfläche, deren (Halb-) Meridiankurve einen Wendepunkt besitzt (Glockenfläche). Die Fläche besitzt einen Bereich mit elliptischen Punkten (gelb) und einen mit hyperbolischen Punkten (rot). Die zwei Bereiche werden durch jenen Breitenkreis (weiß) getrennt, den der Wendepunkt der Meridiankurve beschreibt. Dieser Breitenkreis besteht nur aus parabolischen Punkten. The model shows the lines of curvature, i. e. the meridians and parallels of the surface of revolution. The regions of the elliptic and hyperbolical points are seperated by the parallel belonging to the point of inflexion of the meridian. The parallel itself consists only of oarabolic points. In the model elliptic, parabolic, and hyperbolical points are marked by yellow, white, or red colouring resp. Le modèle montre les méridiens et les parallèles de la surface de révolution. Les zones des points elliptiques et des points hyperboliques sont séparées par le parallèle, qui est décrit par le point d'inflexion de la courbe méridienne. Le parallèle ne contient que des points paraboliques. En le modèle les points elliptiques, hyperboliques et paraboliques sont jaunes, blancs, ou rouges respectivement. Drei weitere Modelle der Sammlung zeigen Tangentialschnitte der Fläche. 35 x 35 x 20 520 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 30.07.1958 97589-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Konstruktive Geometrie, Darstellende Geometrie, Differentialgeometrie Sammlung Dresden Drehflächen, Flächenkrümmung Glockenfläche Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-1/full/08_41.jpg 270 Konstruktion des Schnittpunktes von Ebene und Gerade Intersection point of a plane E and a straight line g Point d'intersection d'une droite g et d'un plan E Die Ebene ist durch ein Dreieck, die Gerade durch zwei ihrer Punkte gegeben. Die vertikale (grundrissprojizierende) Ebene durch die Gerade wird als Hilfsebene benutzt. Diese Ebene, ihre Schnittgerade mit der Dreiecksebene sowie der Durchstoßpunkt von Gerade und Dreiecksebene sind im Modell enthalten. E is given by a triangle, and g by two of its points. The projecting plane is used as auxiliary plane. Its intersection line with E meets g in the point of intersection of the plane and the straight line. E est donné par un triangle, et la droite est donnèe par deux points quelconques. Le plan de projection coupe E en une droite, qui rencontre g dans le point d'intersection cherché. 41,5 x 32,5 x 32,5 1775 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 1963 97592-000 und 97593-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff, Metall Darstellende Geometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Schnittaufgaben Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-1/full/DSC_0110-k.jpg 278 Räumliche Deutung des Satzes von Desargues Theorem of Desargues Théorème de Desargues Das Modell enthält eine Pyramide über dreieckiger Basis und ihren dreieckigen Schnitt mit einer zu keiner Pyramidenkante parallelen Ebene. Außerdem sieht man die senkrechte und eine schiefe Parallelprojektion der Pyramide und des Schnittdreiecks in die Basisebene der Pyramide. Die schiefen Projektionsstrahlen sind durch helle Fäden materialisiert. A trilateral pyramid is intersected by a plane, being not parallel to any of the edges of this pyramid. The intersecting triangle and the pyramid are projected onto the basic plane by means of parallel lines, which are perpendicular or inclined resp. towards the mentioned plane. Le modèle représent le théorème de Desargues. Une pyramide triangulaire est coupée par un plan, qui n'est pas parallèle à quelqu'une des arêtes de la pyramide. Le triangle d'intersection et la pyramide sont projetés sur la base par des droites parallèles, qui sont perpendiculaires ou inclinées respectivement vers le plan d'intersection. Satz des Desargues (franz. Architekt und Mathematiker; 1591-1661): Schneiden sich die Verbindungsgeraden entsprechender Eckpunkte zweier Dreiecke in einem Punkt S, das heißt die Dreiecke sind in perspektiver Lage, so liegen die drei Schnittpunkte zwischen den korrespondierenden Dreieckseiten auf einer Geraden. Im Modell ist die Gerade rot. Die korrespondierenden Dreieckseiten haben jeweils gleiche Farben: gelb, grün und blau. Das Modell deutet diesen Satz räumlich, indem der Punkt S als Spitze einer dreieckigen Pyramide aufgefasst wird und die beiden Dreiecke zwei Schnittfiguren der Pyramide. Projiziert man diesen Sachverhalt in eine Ebene, hier die Trägerebene eines Dreiecks, ändern sich die Inzidenzbeziehungen nicht. 53 x 50 x 34 3100 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 1958 97600-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff, Metall Projektive Geometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Zentralprojektion, Perspektive Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-4-4/full/DSC_0032-k.jpg 283 Ellipsenzirkel Simple ellipsograph Ellipsographe simple Das Modell dieses Ellipsenzirkels beruht auf der sogenannten Papierstreifenkonstruktion einer Ellipse. Der Zirkel besteht aus einer Grundplatte, auf der die zueinander senkrechten Führungsschienen für die Punkte A und B befestigt sind. Die Längen der Halbachsen a und b sind in begrenztem Umfang veränderlich, so dass verschiedene Ellipsen gezeichnet werden können. The modell follows the principles of the so-called paper-strip construction of an ellipse. The ellipsograph consists of a sole plate whereupon two perpendicular guide bars are fixed. It is possible to draw different ellipses. Le modèle est un ellipsograph simple, fondé sur la construction d'une ellipse au moyen d'une bande de papier, sur laquelle on porte les deux demi-axes de la courbe. On peut tracer quelques ellipses différentes avec cet instrument. Papierstreifenkonstruktion einer Ellipse: Auf einem Papierstreifen wird die Länge a der halben Hauptachse der Ellipse angetragen und die Endpunkte mit A und P markiert. Von P trägt man die Länge b der halben Nebenachse in Richtung des Punktes A an und man erhält B. Wird der Papierstreifen so in der Ebene bewegt, dass A und B auf zueinander senkrechten Geraden gleiten, beschreibt P eine Ellipse mit den Halbachsen a und b. Paper-strip construction of an ellipse. At first one marks the semi-major axis a of the ellipse on a paper-strip starting from point A and generates P. Then the semi-minor axis b is removed backwards to A and B occurs. If one moves the paper-strip in such a way, that A and B slide on the perpendicular guide bars, P descibes an ellipse with semi-major axis a and semi-minor axis b. 50 x 70 x 4 2600 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 1959 97605-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Holz, Metall Elementarmathematik Sammlung Dresden Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-4-1/full/DSC_0036.jpg 285 Epizykloide Epicycloid Épicycloid Ein Kreis k vom Radius r rollt auf einem anderen Kreis K außen ab, betrachtet wird ein fester Punkt P, der vom Mittelpunkt M des Kreises k den Abstand a hat. Ist der Abstand a kleiner als der Radius r des Kreises, so entsteht eine gestreckte Epizykloide, ist a gleich dem Radius r, so entsteht eine gewöhnliche Epizykloide und ist a größer als der Radius r, so entsteht eine verschlungene Epizykloide. Die Kurve schließt sich nach drei Umdrehungen des kleinen Kreises, weil sich die Radien wie 3:1 (K:k) verhalten. The model shows epicycloids, these curves are generated, if a point on a circle k moves on the outside of the circumference of a second circle. Le modèle montre épicycloides. Une épicycloide est la courbe engendrée par un point lié à un cercle mobile de rayon r qui roule sans glissement à l'extérieur d'un autre cercle fixe. 30 x 49 x 55 2610 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 15.12.1960 97607-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff Kinematik Sammlung Dresden Zykloiden Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-1/full/04_59.jpg 286 Hypozykloide Hypocycloid Hypocycloids Ein Kreis k vom Radius r rollt auf einem anderen Kreis K innen ab, betrachtet wird ein fester Punkt P, der vom Mittelpunkt M des Kreises k den Abstand a hat. Ist der Abstand a kleiner als der Radius r des Kreises, so entsteht eine gestreckte Hypozykloide, ist a gleich dem Radius r, so entsteht eine gewöhnliche Hypozykloide und ist a größer als der Radius r, so entsteht eine verschlungene Hypozykloide. Die Kurve schließt sich nach drei Umdrehungen des kleinen Kreises, weil sich die Radien wie 3:1 (K:k) verhalten. The model shows hypocycloids, these curves are geberated, if a point on a circle k moves on the inside of the circumference of a second circle. Le modèle montre épicycloides. Une hypocycloide est la courbe engendrée par un point lié à un cercle mobile de rayon r, qui roule sans glissement à l'intérieur d'un cercle fixe. 30 x 32 x 40 1500 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 15.12.1960 97608-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff Kinematik Sammlung Dresden Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-1/full/04_56.jpg 288 Affinität zwischen Kreis und Ellipse Affinity between circle and ellipse Projection parallèle d'un plan E1 sur un autre plan E2 Im Modell ist eine Ebene auf eine zweite Ebene durch Parallelprojektion affin abgebildet. Einige Projektionstrahlen sind durch Fäden materialisiert. Eine Ebene (transparent) kann um ihre Schnittgerade mit der anderen so weit gedreht werden, bis beide Ebenen zusammen fallen. Die Schnittgerade ist die Fixpunktgerade der perspektiven Affinität (Affinitätsachse). Aus dem Modell ist zu ersehen, dass bei beliebiger Drehung die Verbindungsgeraden entsprechender Punkte parallel bleiben. So kann aus der Parallelprojektion im Raum die ebene Affinität abgeleitet werden. In diesem Modell ist die affine Abildung eines Kreises dargestellt und die Ermittlung der Kreisdurchmesser, die die Achsen der zu diesem Kreis affinen Ellipse liefern, angegeben. The model shows the parallel projection of a plane E1 onto another one E2. E2 can be revolved about its intersection line with E1, as far as that both planes coincide, thus an affine correspondence in this plane is determined. In this model the affine mapping of a circle is represented and shown, how the axes of the corresponding ellipse are determined from the diameters of the circle. Le modèle montre la projection parallèle d'un plan E1 sur un autre plan E2. E2 peut être tourné autour de sa droite d'intersection avec E1, jusqu'à les plans coincident, de sorte que une correspondance affine dans ce plan est déterminée. Le modèle montre la transformation affine d'un cercle et représent comme les axes de l'ellipse correspondante sont déterminés à l'aide des diamètres du cercle. 25,5 x 31 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 97610-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff, Metall Darstellende Geometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Abbildungsmethoden Perspektivität Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-1/full/DSC_0021-k.jpg 289 Ellipse als perspektives Bild eines Kreises Perspective mapping of a circle into an ellipse Deux plans en perspective Das Modell zeigt, wie bei einer Zentralkollineation zwischen zwei Ebenen die Verbindungsgeraden entsprechender Punkte (Kollineationsstrahlen) stets durch einen Punkt, das Zentrum der Perspektivität, gehen. Ausgewählte Kollineationsstrahlen sind durch Fäden materialisiert. Die Zentralkollineation wird hier am Beispiel einer Ellipse als zentralperspektives Bild eines Kreises demonstriert. Die zu den Ellipsenachsen kollinearen Bilder in der Kreisebene sind gekennzeichnet. Die Kollineationsstrahlen durch Kreis und Ellipse sind die Erzeugenden eines Kreiskegels, das Zentrum ist die Kegelspitze. The model shows that in the case of a perspective mapping of two planes (who can be revolved one onto the other) the uniting lines of corresponding points all go through one point, the centre of perspectivity. In the model the perspective mapping of a circle into an ellipse is represented. Le modèle montre deux plans en perspective. Les droites qui joignent deux à deux les points correspondants passent par un même point, le centre de perspective. Le modèle représent un cercle, qui a pour perspective une ellipse et réciproquement. Die Schnittgerade der beiden Trägerebenen von Kreis und Ellipse ist Fixpunktgerade der perspektiven Kollineation (Kollineationsachse). Durch Drehen der einen Ebene (transparent) um die Kollineationsachse können Kreis und Ellipse in eine koplanare Lage gebracht werden, wobei die Perspektivität erhalten bleibt. Damit lässt sich aus der Kollineation im Raum die perspektive Kollineation in der Ebene ableiten. Sie ist durch das Perspektivitätszentrum, die Kollineationsachse und durch ein Punktepaar, deren Verbindungsgerade (Kollineationsstrahl) das Zentrum enthält, festgelegt. 23,5 x 31 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 1959 97611-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff, Metall Darstellende Geometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Zentralprojektion, Perspektive, Abbildungsmethoden, Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) Perspektivität Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-1/full/DSC_0097-k.jpg 291 Polyeder, zum Kleinschen Schlauch topologisch äquivalent polyhedron hemeomorphic to the Kleinbottle Un polyèdre homéomorphe à la surface de Klein Das Modell zeigt ein Polyeder, das zur Kleinschen Flasche topologisch äquivalent (homöomorph) ist. Das heißt es handelt sich um eine einseitige Fläche mit einer Selbstdurchdringung, die ganz im Endlichen liegt. Das Modell ist zu einer Seite transparent gestaltet und ein Weg über die Fläche ist rot markiert, um die Eigenschaft der Einseitigkeit zu verdeutlichen: Der Weg startet »außen« an einem Halbkreis und führt über die Mündung durch den Schlauch, bis er mit einem den ersten ergänzenden Halbkreis »innen« endet. Nachdem der Kleinsche Schlauch geschlossen ist, kann man also von »außen« nach »innen« gelangen, obwohl man sich immer auf der selben Seite der Fläche bewegt. »Außen« und »innen« sind folglich keine global unterscheidbaren Kriterien für die Fläche und machen nur noch lokal Sinn. The model shows a polyhedron, which is homeomorphic to the Klein bottle. Le modèle montre un polyèdre, qui est homéomorphe à la surface de Klein. Im R^3 ist keine randlose einseitige Fläche ohne Selbstdurchdringung realisierbar. Die Kleinsche Flasche und die Kreuzhaube sind Beispiele für solche randlose einseitige Flächen. Dagegen hat das Möbiusband einen Rand, aber dafür keine Selbstdurchdringung. 38 x 23 x 12,5 1100 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 15.12.1960 97613-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff Topologie Sammlung Dresden einseitige Flächen Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-2/full/23_59.jpg 292 Zykloiden von Rollkreis auf Gerade Cycloid Cycloide Ein Kreis vom Radius r rollt auf einer Geraden ab. Betrachtet wird ein fester Punkt P, der vom Mittelpunkt M des Kreises k den Abstand a hat. Ist der Abstand a kleiner als der Radius r des Kreises, so entsteht eine gestreckte Zykloide, ist a gleich dem Radius r, so entsteht eine gewöhnliche gespitzte Zykloide und ist a größer als der Radius r, so entsteht eine verschlungene Zykloide. The model shows cycloids, a circle with the radius r rolls along a straight line, where a point on the circle with the distance a from the centre describes a curve, the so-called cycloid. We distinguish three different types of cycloids, according as a is <=>r. Le modèle montre cycloides. Une cycloide est la courbe engendréepar un point P d'un cercle du rayon r et de centre M, qui roule sans glisser sur une droite. Selon que la distance PM et <=>r, il y a trois types différents de cycloides. 83,5 x 11 x 28 3500 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 15.12.1960 97614-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Holz, Kunststoff Kinematik Sammlung Dresden Zykloiden Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-3-2/full/DSC_0083-k.jpg 297 Ellipse als Normalriss eines Kreises The ellipse as orthogonal projection of a circle Ellipse, considérée comme projection du cercle Das Modell enthält einen um seinen Begrenzungsdurchmesser drehbaren Halbkreis. Durch zwei Stützdreiecke kann die Ebene des Halbkreises bei einer bestimmten Neigung gegen die Grundplatte festgestellt werden. Für diese Neigung ist der Normalriss des Halbkreises auf der Grundplatte eingezeichnet. Die Konstruktion von Ellipsenpunkten aus Punkten des Halbkreises sowie die affine Zuordnung von Hauptscheitelkreis und Ellipse sind im Modell zu erkennen. Affinitätsachse ist der gemeinsame Durchmesser von Kreis und Ellipse, Affinitätsstrahlen sind die zur Grundplatte orthogonalen Projektionsstrahlen. The model includes a semi-circle that can be rotated about a diameter. By means of two supporting triangles the semi-circle may be fixed in such a position, that it's orthogonal projection is an ellipse. The construction of points of the ellipse from points of the circle and the affine correspondence between the major auxiliary circle and the ellipse is to be seen. Le modèle montre la projection orthogonale d'un cercle, dont le plan est incliné, faisant un certain angle avec le plan de projection. Le cercle peut être tourné autour d'un diamètre situé dans ce plan de projection. Le modèle montre encore la construction des points de l'ellipse par points correspondants du cercle, et la correspondance affine entre le cercle principal et l'ellipse. 34 x 17,5 x 19 500 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 1958 97619-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff, Metall Darstellende Geometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Parallelprojektion Perspektivität Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-4-5/full/DSC_0074-k.jpg 298 Kreis als Normalriss einer Ellipse The circle as orthogonal projection of an ellipse Cercle, considéré comme projection de l'ellipse Das Modell enthält eine um die Nebenachse drehbare Ellipse. Durch zwei Stützdreiecke kann die Ellipse in jener Lage festgehalten werden, in der ihr Normalriss auf die Sockelebene ein Kreis ist. Die Konstruktion von Ellipsenpunkten aus Punkten dieses Kreises und umgekehrt, sowie die affine Zuordnung von Ellipse und Nebenscheitelkreis (Kleinkreis) sind zu erkennen. An ellipse, that can rotate about its minor axis, may be fixed by means of two supporting triangles in such a position, where its orthogonal projection is a circle. In the model the affin correspondence between an ellipse and its minor auxiliary circle is to be seen. Une ellipse, qui peut être tournée autour de son petit axe, est fixée de telle manière, que sa projection verticale est une cercle. Le modèle montre la correspondance affine entre une ellipse et son cercle de petit axe. 20 x 17,5 x 20 350 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 1958 97620-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff, Metall Darstellende Geometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Parallelprojektion Perspektivität Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-4-5/full/DSC_0078-k.jpg 300 Hyperbolischer Zylinder hyperbolic cylinder Ist die Leitkurve eines Zylinders ein Kegelschnitt (eine Kurve zweiter Ordnung, hier eine Hyperbel), so ist die Fläche eine Quadrik (eine Fläche zweiter Ordnung). Das Modell zeigt einen geraden hyperbolischen Zylinder, das heißt die Mantellinien sind zur Trägerebene der Leitkurve normal. Auf der Grundplatte sind die Asymptoten der Hyperbel zu erkennen. if you project a second-grade-curve onto its girder in space, you get a cylinder of second grade as an result. 35 x 28 x 19 720 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 30.07.1958 97622-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Holz, Kunststoff Elementarmathematik, Algebraische Geometrie Sammlung Dresden Flächen 2. Ordnung (Quadriken) Zylinder 2. Ordnung Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-4-3/full/DSC_0001-k.jpg 301 Parabolischer Zylinder parabolcal cylinder Cylindre parabolique Ist die Leitkurve eines Zylinders ein Kegelschnitt (eine Kurve zweiter Ordnung, hier eine Parabel), so ist die Fläche eine Quadrik (eine Fläche zweiter Ordnung). Das Modell zeigt einen geraden hyperbolischen Zylinder, das heißt die Mantellinien sind zur Trägerebene der Leitkurve normal. second-grade-cylinder if you project a second-grade-curve onto its girder in space, you get a cylinder of second grade as an result. 20 x 13 x 17.5 275 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 30.07.1958 97623-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Holz, Kunststoff Elementarmathematik, Algebraische Geometrie Sammlung Dresden Flächen 2. Ordnung (Quadriken) Zylinder 2. Ordnung Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-4-3/full/DSC_0005-k.jpg 305 Möbius'sches Band Moebius' band Surface de Moebius Das Modell zeigt als Beispiel einer einseitigen Fläche das sogenannte Möbiusband. Diese Fläche erhält man aus einem langgestreckten rechteckigen Streifen, wenn man die eine kurze Rechteckseite um 180° gegen die andere verdreht und in dieser Lage diese beiden Seiten zusammenheftet. Anhand der Färbung wird deutlich, wie der "obere" Teil des Bandes in den "unteren" übergeht. This model is an rectangular band, the two small sides of which are connected after torsion through an angle of 180°. This so-called Moebius band is the most simple example of a one-sided surface. Le modèle est une bande en forme d'un rectangle, dont on a joint les deux côtés petits après une torsion par une angle de 180°. De cett façon une surface de Moebius est engendrée; c'est l'exemple le plus simple pour une surface unilatérale. Streifen: 5 x 66 55 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 24.04.1958 97627-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff Topologie Sammlung Dresden einseitige Flächen Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-4-1/full/DSC_0065-k.jpg 307 Pentagondodekaeder, Dodekaeder Dodecahedron Dodécaèdre Zwölf Fünfecke mit lauter gleich langen Seiten und gleich großen Winkeln, so aneinandergefügt, dass sich in jeder Ecke drei von ihnen treffen: Das ist das berühmte Pentagondodekaeder, meist kurz Dodekaeder genannt. Der lange Name heißt nichts weiter als Fünfeckszwölfflächner. Die Kantenlänge des Dodekaedermodells ist so gewählt, dass es in einen Hexaeder, der ebenfalls von der Firma Stoll produziert wurde, so hineingeschoben werden kann, dass sechs Kanten die Würfelfacetten von innen berühren. The model shows one of the five regular polyhedrons, the dodecahedron. The length of the edge of it is chosen in such a way, that it fits into a cube, that was produced by the company as well. Le modèle montret un polyèdre régulier, une dodécaèdre. Das Dodekaeder ist ein platonischer Körper. Diese Gruppe aus fünf regulären konvexen Polyedern (Vielflächner) ist dadurch charakterisiert, dass ihre Seitenflächen kongruente regelmäßige Vielecke sind, von denen in jeder Ecke jeweils gleich viele zusammentreffen. Man kann leicht zeigen, dass es nur genau fünf reguläre konvexe Polyeder gibt. Ein Dodekaeder besteht aus 12 regelmäßigen Fünfecken. In diesen können Diagonalen so ausgewählt werden, dass sie die Kanten eines dem Dodekaeder einbeschriebenen Hexaeders (Würfel) bilden, dessen Ecken zugleich Ecken des Dodekaeders sind (im Modell als rote Linien sichtbar). Das Pentagon-Dodekaeder kann nicht, wie etwa das Rhomben-Dodekaeder, zur Pflasterung des Raumes benutzt werden. Allerdings gelingen Ringe und Kristalle, wenn man geringe Abweichungen von der geometrisch exakten Form des Dodekaeders zulässt (Quasikristalle). 16 x 16 x 16 205 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 1959 97629-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff Elementarmathematik, Darstellende Geometrie Sammlung Dresden Polyeder Reguläre Polyeder Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-2/full/21_56.jpg 314 Peanosche Fläche, geschichtet surface of peano surface de peano In einem geeignet gewählten kartesischen Koordinatensystem hat diese Fläche die Gleichung <code>z = -(x^2 - p*y) (x^2 - q*y)</code>. Der Koordinatenursprung O ist ein Flächenpunkt, an dem sich folgendes Paradoxon studieren lässt: Alle Kurven auf der Fläche, die in Ebenen durch die z-Achse liegen, haben in O ein Maximum, während die Fläche selbst in diesem Punkt kein Maximum besitzt! Im Modell ist zu erkennen, dass in jeder noch so kleinen Umgebung von O stets Flächenpunkte vorhanden sind, die tiefer, aber auch solche, die höher als 0 liegen. In a certain Cartesian coordinate system the shown surface has the equation <code>z = - (x^2 - p*y) (x^2 - q*y)</code>. All normal sections of the surface at the origin O (O is a point of the surface) have a maximum at O, while the surface itself has no maximum at this point. Indeed follows easily from the equation of the surface that there doesn`t exist a neighbourhood of O containing only points, for which the corresponding values of z are <= 0. Dans un système certain de coordonnées rectangulaires cette surface a l'équation <code>z = - (x^2 - py) (x^2 - qy)</code>. Toutes les sections normales de cette surface à l'origine O (O est un point de la surface) possèdent un maximum en O, mais la surface elle-même n'atteint pas son maximum en ce point. Il s'ensuit de l'equation de la surface qu'il n'existe pas no voisinage de 0 contenant seulement des points pour lesquels les valeurs de z sont <= 0. 25 x 22 x 22 350 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 21.11.58 97636-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff, Metall Differentialgeometrie Sammlung Dresden Funktionentheorie, Flächenkrümmung Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-2/full/21_59.jpg 315 Hyperbolisches Paraboloid als Schnitt von zwei Ebenensystemen Hyperbolical Paraboloid - shows the two systems of generating lines Paraboloide hyperbolique avec les deux systèmes de génératrices In einem entsprechend gewählten kartesischen Koordinatensystem hat das hyperbolische Paraboloid die Gleichung x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 2*z. Das Modell zeigt die beiden Systeme von Ebenen, die zu den Ebenen x/a + y/b = 0 und x/a - y/b = 0 parallel sind. Diese beiden Ebenen enthalten die z-Achse und je eine der Schnittgeraden der Ebene z = 0 mit dem Paraboloid. Die beiden Systeme der parallelen Ebenen schneiden das Paraboloid in den beiden Scharen seiner erzeugenden Geraden. Das Modell ist beweglich und kann somit eine ganze Familie zueinander affiner Flächen darstellen. The model represents the two systems of planes parallel to the planes x/a + y/b = 0 and x/a - y/b = 0, the latter planes each containing the z-axis and one of the intersection lines of the plane z = 0 with the paraboloid. The two systems of parallel planes intersect the paraboloid in the both systems of generating lines. The model is suited to illustrate that the paraboloid may be moved in itself. Le modèle contient les deux systèmes de planes parallèles aux plans x/a + y/b = 0 et x/a - y/b = 0. Ces deux planes contiennent l'axe de z et une droite d'intersection du plan z = 0 avec le paraboloïde. Les deux systèmes des plans parallèles coupent le paraboloïde en les deux systèmes de ses génératrices rectilignes. le modèle est amovible. Das hyperbolische Paraboloid (HP-Fläche) ist eine Regelfläche zweiter Ordnung (Regulus). Außer der HP-Fläche ist auch noch das einschalige Hyperboloid ein Regulus. Jeder Regulus trägt zwei Scharen gerader Erzeugender. Bei der HP-Fläche gehört zu jeder Schar eine Richtebene. Die Ebenen im Modell sind zu den Richtebenen parallel. Die Achse der HP-Fläche ist zu beiden Richtebenen parallel. 23 x 16 x 16 1100 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 30.07.1958 97637-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff Elementarmathematik, Algebraische Geometrie Sammlung Dresden Flächen 2. Ordnung (Quadriken) Bewegquadriken Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-1/full/04_48.jpg 316 Hüllfläche der Krümmungkreise der Normalschnitte in einem elliptischen Flächenpunkt (Oskulatorie, Kreuzhaube) The circles of curvature of the normal sections in an elliptic point of a surface Enveloppes des cercles de courbure des sections normales en un point elliptique de la surface Das Modell zeigt die Hüllfläche der Krümmungskreise der Normalschnitte in einem elliptischen Flächenpunkt P. Die Krümmungskreise schneiden einander alle in P und wurden in 15°-Schritten realisiert. Die Hüllfläche ist eine algebraische Fläche vierter Ordnung mit der Gleichung: (x^2 + y^2 + z^2)(x^2/r_1 + y^2/r_2) - 2z(x^2 + y^2) = 0. Der Selbstschnitt der Oskulatorie liegt auf der Flächennormalen im oskulierten Punkt. Die Oskulatorie ist topologisch äquivalent zur projektiven Ebene und heißt in diesem Zusammenhang Kreuzhaube. As an example the normal sections in the vertex of the elliptic paraboloid x^2/r1 + y^2/r2 = 2*z are regarded. The angle distance between the normal sections is 15° each. The envelope of the circles is an algebraic surface of fourth order with the equation (x^2 + y^2 + z^2)*(x^2/r1 + y^2/r2) - 2*z*(x^2 + y^2) = 0. The envelope is homeomorphic to the projective plane and in this topological context often refered to as cross-cap. Le modèle montre les sections normales en le sommet du paraboloïde élliptique x^2/r1 + y^2/r2 = 2*.Le modèle représent l'enveloppe des cercles de courbure des sections normales en le sommet P du paraboloïde elliptique. Cette enveloppe est une surface de quatrième degré, son équation est (x^2 + y^2 + z^2)*(x^2/r1 + y^2/r2) - 2*z*(x^2 + y^2) = 0; l'enveloppe est homéomorphe au plan projectif. La distance angulaire entre les sections normales est 15°. Als Beispiel für den elliptischen Flächenpunkt wurde der Scheitel P des elliptischen Paraboloids x^2/r_1 + y^2/r_2 = 2z (r_1 = 10, r_2 = 5) gewählt. Allgemein gilt: zu jedem regulären Flächenpunkt P kann ein Paraboloid so gewählt werden, dass es mit dem Scheitel die Fläche in P oskuliert (lat.: küssen), das heißt bezüglich der Krümmung in P mit der Fläche übereinstimmt. Das sogenannte Scheitelparaboloid kann elliptisch oder hyperbolisch sein, oder ein parabolischer Zylinder. 20 x 20 x 10 600 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 07.11.1962 97638-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff Differentialgeometrie, Topologie Sammlung Dresden Flächenkrümmung, einseitige Flächen Scheitelparaboloid Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-2/full/23_55.jpg 317 Runder Bleistift, eckig angespitzt Round pencil sharpened with a knife Crayon rond taillé avec un couteau Das Modell zeigt stark vergrößert einen runden Bleistift, der mit einem Messer sorgfältig angespitzt worden ist. Geometrisch gesehen handelt es sich um den Schnitt eines Drehzylinders mit den Facetten einer geraden Pyramide, deren Basis ein regelmäßiges Sechseck ist, für den Fall, bei dem Zylinder und Pyramide eine gemeinsame Achse haben. Die Schnittkurven sind Teile von Ellipsen. The model shows the intersection of a right cylinder and a right hexagonal pyramid, both solids having their axes in common. The curves of intersection to be seen in the model are parts of ellipses. Le modèle montre l'intersection d'un cylindre de révolution avec les faces d'une pyramide hexagonale. Les courbes d'intersection visibles en le modèle sont parties d'ellipses. 11 x 11 x 25 330 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 97639-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff Darstellende Geometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Schnittaufgaben, Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-4-5/full/DSC_0041b.jpg 318 Sechseckiger Bleistift, rund angespitzt Hexagonal pencil sharpened with a pencil-sharpener Crayon hexagonal taillé de façon ronde Das Modell zeigt stark vergrößert einen Bleistift, der mit einem Bleistiftspitzer angespitzt worden ist. Geometrisch gesehen, handelt es sich um den Schnitt eines Drehkegels mit den Facetten eines geraden Prismas, dessen Leitpolygon ein regelmäßiges Sechseck ist, für den Fall, bei dem Prisma und Kegel eine gemeinsame Achse besitzen. Die Schnittkurven sind Teile von Hyperbeln. The Model shows the intersection of a right hexagonal prism and a cone of revolution, both solids having their axes in common. The curves of intersection to be seen in the model are parts of hyperbolas. Le modèle montre l'intersection d'un prisme droit hexagonal et d'un cône de révolution, les deux solides ont le même axe. Les courbes d'intersection visibles en le modèle sont parties de hyperboles. 12 x 12 x 25 350 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 97640-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff Darstellende Geometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Schnittaufgaben, Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-4-5/full/DSC_0041a.jpg 326 Zentralfläche eines einschaligen Hyperboloids Es ist ein Mantel der Zentralfläche dargestellt. Die Hauptebenen des Hyperboloids sind durch Ritzlinien wiedergegeben. Die Zentralfläche einer Fläche Phi ist der Ort der Hauptkrümmungsmittelpunkte von Phi und zugleich die Hüllfläche der Flächennormalen von Phi (vgl. Brennfläche). Das Modell entstand unter Leitung von Brill und Klein. Die Zentralfläche des einschaligen Hyperboloids ist eine Fläche 12. Ordnung. Sie besitzt 3 ebene Rückkehrkanten, nämlich zwei Hyperbeln und eine Ellipse, welche in drei zu einander senkrechten Ebenen liegen. Außerdem hat die Zentralfläche eine Doppelcurve 24. Ordnung. Vgl. Cayley, On the Centro -Surface of an Ellipsoid. Cambridge, Philos. Transactions, vol. XII, pag. 319ff.; Salmon / Fiedler, Analytische Geometrie des Raumes Bd. 1, Art. 207 und Bd. 2, Art. 244, 2. Aufl. 17 x 16 720 Schilling (Verlag Martin Schilling) 02.12.1960 97648-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Gips Walther Dyck Algebraische Geometrie Algebraische Flächen, Flächen 2. Ordnung (Quadriken), Flächenkrümmung Zentralflächen kgl. TH München Schilling modellfotos/2005-Juni-4-2/full/DSC_0022-k.jpg 329 Parabolische Ringzyklide Parabolic ring cyclide Abguss nach einem im mathematischen Institut der kgl. technischen Hochschule in München angefertigten Original. Diese parabolische Ringyklide hat die bemerkenswerte Eigenschaft, dass sie den 3-Raum in zwei kongruente Teile zerlegt: Die Hohlform, die zur Herstellung des Gipsmodells verwendet wurde, ist zum Modell kongruent. Bei der parabolischen Ringzyklide sind alle vier Knotenpunkte imaginär, die Verbindungsgeraden beider Paare, welche ganz auf der Fläche liegen, jedoch reell. Außer diesen befinden sich noch zwei sich schneidende Geraden und eine unendliche ferne auf der Fläche. Die eingeritzten Kreise sind Krümmungslinien. Die Dupinschen Zykliden sind im Allgemeinen vierter Ordnung. Die parabolischen Zykliden jedoch enthalten den absoluten Kegelschnitt (unendlich fernen imaginären Kugelkreis) nur noch einfach, es sondert sich die unendlich ferne Ebene als ein Bestandteil ab. Somit ist die Fläche nur mehr von dritter Ordnung. Eine umfassende Darstellung der Dupinschen Zykliden von Ulrich Pinkall findet man in Fischer, 1986, Kommentarband S. 30 ff. Bemerkenswert ist insbesondere, dass jede Dupinsche Zyklide durch Inversion eines Torus gewonnen werden kann. Die Dupinsche Ringzyklide erhält man beispielsweise, wenn der Mittelpunkt der Inversion auf dem Mantel des Ringtorus liegt. Jedes Bild einer Dupinschen Zyklide unter einer Inversion ist wieder eine Dupinsche Zyklide. 12 x 20 1575 Schilling (Verlag Martin Schilling) 02.12.1960 97651-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Gips S. Finsterwalder Differentialgeometrie Flächen 3. Ordnung (Kubiken), Inversion Dupinsche Zykliden kgl. TH München Schilling modellfotos/2003-3/full/25_55.jpg 330 Zentralfläche eines einschaligen Hyperboloids Es sind beide Mäntel der Zentralfläche dargestellt. Die Hauptebenen des Hyperboloids sind durch Ritzlinien wiedergegeben. Die Zentralfläche einer Fläche Phi ist der Ort der Hauptkrümmungsmittelpunkte von Phi und zugleich die Hüllfläche der Flächennormalen von Phi (vgl. Brennfläche). Das Modell entstand unter Leitung von Brill und Klein. Die Zentralfläche des einschaligen Hyperboloids ist eine Fläche 12. Ordnung. Sie besitzt 3 ebene Rückkehrkanten, nämlich zwei Hyperbeln und eine Ellipse, welche in drei zu einander senkrechten Ebenen liegen. Außerdem hat die Zentralfläche eine Doppelcurve 24. Ordnung. Vgl. Cayley, On the Centro -Surface of an Ellipsoid. Cambridge, Philos. Transactions, vol. XII, pag. 319ff.; Salmon / Fiedler, Analytische Geometrie des Raumes Bd. 1, Art. 207 und Bd. 2, Art. 244, 2. Aufl. 17 x 16 Schilling (Verlag Martin Schilling) 97652-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Gips Walther Dyck Algebraische Geometrie Algebraische Flächen, Flächen 2. Ordnung (Quadriken), Flächenkrümmung Zentralflächen kgl. TH München Schilling 334 die sieben Haupttypen der ebenen Kurven 3. Ordnung Hier werden die sieben Haupttypen der ebenen Kurven 3. Ordnung nach Möbius auf zwei Kugeln dargestellt. Eine Kugel zeigt die Kurven ohne Doppelpunkt (V bis VII). Um wie in den vorliegenden Beispielen das sphärische Bild einer ebenen Kurven 3. Ordnung zu erhalten, positioniert man die Kurve in natürlicher Weise mit dem Ursprung in der x-y-Ebene und macht sie zur Leitkurve eines Kegels, dessen Spitze mit geeignetem Abstand auf der z-Achse liegt. Der Kugelmittelpunkt wird nun in die Kegelspitze gesetzt und die Mantellinien des Kegels schneiden die Kugelfläche im gesuchten spärischen Bild Diese sphärischen Curven vereinigen die gestaltlichen Eigentümlichkeiten der collinear-verwandten Typen in einem Bilde, während jede ebene Darstellung den Verlauf der Curve im Unendlichen entstellt. Von den 7 Typen sind drei durch Spaltung eines der 5 Newton'schen Haupttypen entstanden. Sie bestehen aus einem unpaaren Zug und unterscheiden sich nur durch die Lage der Verbindungslinie der Wendepunkte gegen das Dreieck der Wendetangenten. Sie sind hier auf einer Kugel vereinigt. Die andere Kugel enthalt die Typen mit Oval, mit Doppel-, Rückkehr- und isoliertem Punkt. 10 Schilling (Verlag Martin Schilling) 29.11.60 Kustodie 97655-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Gips Dollinger, cand. math. H. Algebraische Geometrie Sammlung Dresden Kurven 3. Ordnung Schilling modellfotos/2005-Juni-3-2/full/DSC_0023-k.jpg 341 Peanosche Fläche surface of peano surface de peano In einem geeignet gewählten kartesischen Koordinatensystem hat diese Fläche die Gleichung <code>z = -(x^2 - py) (x^2 - qy)</code>. Der Koordinatenursprung 0 ist ein Flächenpunkt, an dem sich folgendes Paradoxon studieren lässt: Alle Kurven auf der Fläche, die in Ebenen durch die z-Achse liegen, haben in 0 ein Maximum, während die Fläche selbst in diesem Punkt kein Maximum besitzt! Im Modell ist zu erkennen, dass in jeder noch so kleinen Umgebung von 0 stets Flächenpunkte vorhanden sind, die tiefer, aber auch solche, die höher als 0 liegen. In a certain Cartesian coordinate system the shown surface has the aquation <code>z = - (x^2 - py) (x^2 - qy)</code>. All normal sections of the surface at the origin 0 (0 is a point of the surface) have a maximum at 0, while the surface itself has no maximum at this point. Indeed follows easily from the equation of the surface that there doesn`t exist a neighbourhood of 0 containing only points, for which the corresponding values of z are <= 0. Dans un système certain de coordonnées rectangulaires cette surface a l'équation <code>z = - (x^2 - py) (x^2 - qy)</code>. Toutes les sections normales de cette surface à l'origine 0 (0 est un point de la surface) possèdent un maximum en 0, mais la surface elle-même n'atteint pas son maximum en ce point. Il s'ensuit de l'equation de la surface qu'il n'existe pas no voisinage de 0 contenant seulement des points pour lesquels les valeurs de z sont <= 0. 24 x 24,5 x 21 > 3000 Schilling (Verlag Martin Schilling) 1960 97662-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Gips Differentialgeometrie Sammlung Dresden Funktionentheorie, Flächenkrümmung Schilling modellfotos/2003-2/full/14_42.jpg 343 Zweischaliges und einschaliges Hyperboloid mit übereinstimmendem Asymptotenkegel Zweischaliges Hyperboloid mit eingeritzten Hauptschnitten und mit einer Schar paralleler ebener Schnitte, deren Ebenen auf der reellen Achse senkrecht stehen. Die beiden Schalen der Fläche sind durch Stäbchen in der richtigen Entfernung miteinander verbunden. Einschaliges Hyperboloid mit eingeritzten Geraden der beiden Scharen von Erzeugenden. Die Innenwandung des Modells enthält den Asymptotenkegel mit den beiden Hauptschnitten. Die beiden Schalen des zweischaligen Hyperboloids können getrennt und in die Höhlung des einschaligen Hyperboloids gesteckt werden. Höhe 12 cm Schilling (Verlag Martin Schilling) 1960 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Gips Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Flächen 2. Ordnung, Quadriken Schilling modellfotos/2003-2/full/15_44.jpg 349 Steinersche Römerfläche mit Haupttangentenkurven Roman surface Die Gleichungen von Flächen 4. Ordnung mit 4 längs Kreisen berührenden Ebenen dieser lassen sich in die Form bringen: phi² - lambda pqrs = o, wo phi = o die Gleichung einer Fläche zweiter Ordnung; p,q,r,s = o die von 4 Ebenen bedeuten; es sind dies diejenigen 4 Tangentialebenen, welche die Flächen längs einer Kurve berühren. Die 4 Ebenen bilden in den Modellen ein reguläres Tetraeder: p = x + y + z - a q = -x + y - z - a r = -x - y + z - a s = x - y - z - a, und die 12 Schnittpunkte der 6 Kanten desselben mit der Fläche zweiter Ordnung, einer Kugel, deren Mittelpunkt mit dem des Tetraeders zusammenfällt und deren Gleichung daher ist: phi = x² + y² + z² - r² = o, sind Knotenpunkte der dargestellten Fläche vierter Ordnung. Je nach der Annahme des Radius der Kugel r und des Parameters Lambda (das Tetraeder als gegeben betrachtet) erhält man verschiedene Typen. Man erhält die Römische Fläche von Steiner, indem man a = r, Lambda = 1 setzt. Sie besitzt drei einander schneidende Doppelgeraden und ist von der dritten Klasse. Auf dem Modell sind auch die Asymptotenkurven eingezeichnet. From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to: navigation, search An animation of the Roman Surface The Roman surface (so called because Jakob Steiner was in Rome when he thought of it) is a self-intersecting mapping of the real projective plane into three-dimensional space, with an unusually high degree of symmetry. This mapping is not an immersion of the projective plane; however the figure resulting from removing six singular points is one. The simplest construction is as the image of a sphere centered at the origin under the map f(x,y,z) = (yz,xz,xy). This gives us an implicit formula of x2y2 + y2z2 + z2x2 − r2xyz = 0. 11 x 10 x 9 190 Schilling (Verlag Martin Schilling) 02.12.1960 Kustodie 97670-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Gips Ernst Eduard Kummer (1810-1893) Algebraische Geometrie, Topologie Sammlung Dresden Flächen 4. Ordnung (Quartiken) kgl. TH München Schilling modellfotos/2005-Juni-3-2/full/DSC_0018-k.jpg 351 Fresnelsche Wellenfläche (aufgeschnitten), innen und außen vernetzt Topologisch gesehen besteht die Fresnelsche Wellenfläche aus zwei Schalen, die sich in den vier Doppelpunkten berühren. Im Modell ist der Raum zwischen der inneren und der äußeren Schale mit Gips gefüllt. Um die innere Schale sehen zu können, wurde die Fläche aufgeschnitten und nur zu einem Viertel dargestellt. Der Teil ist längs eines Hauptschnittes in zwei Oktanten zerlegbar. Die Fläche hat vier reelle Doppeltangentialebenen, welche die Fläche in Kreisen berührt. Die Kreise sind um die Doppelpunkte eingeritzt. Augustin Fresnel (1788 - 1827) führte diese Fläche im Zusammenhang mit seinen Untersuchungen über Kristalloptik ein: Sie beschreibt eine Wellenfront einer von einem Punkt innerhalb eines optisch zweiachsigen Kristalls ausgehenden Lichtwelle). Daher auch der Name Fresnelsche Wellenfläche. Die Ritzlinien zeigen auf jeder Schale eine Schar sphärischer und eine Schar ellipsoidischer Kurven (also Schnittkurven der Fläche mit konzentrischen Kugeln bzw. Ellipsoiden). An den Öffnungen sind die Richtungen der Strahlen markiert. 24 x 9 1020 Schilling (Verlag Martin Schilling) 02.12.1960 97672-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Gips Rektor Dr. Böklen Algebraische Geometrie, Liniengeometrie Sammlung Dresden Algebraische Flächen, Flächen 4. Ordnung (Quartiken) Kummersche Flächen kgl. TH München Schilling modellfotos/2003-3/full/25_59.jpg 353 Ringzyklide mit Schnittkurven von doppelt berührenden Ebenen (dick) Jede Rinzyklide trägt neben den zwei Scharen von Krümmungslinien noch eine weitere reelle Kegelschnittschar: die Schnittkurven der Doppeltangentialebenen. Exemplare aus allen drei Kreisscharen sind hier eingeritzt. Das Modell ist ein Abguss des Originals aus dem mathematischen Seminar in Berlin. 9 x 6 Schilling (Verlag Martin Schilling) 02.12.1960 Kustodie 97674-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Gips Ernst Eduard Kummer (1810-1893) Differentialgeometrie Sammlung Dresden Flächen 4. Ordnung (Quartiken) Dupinsche Zykliden Schilling modellfotos/2005-Juni-3-2/full/DSC_0010-k.jpg 358 Ringzyklide (schlank) Abguss nach einem im mathematischen Institut der kgl. technischen Hochschule in München angefertigten Original. Die Fläche hat 4 imaginäre Knotenpunkte. Die eingeritzten Kurven gehören zu zwei Kreisscharen von Krümmungslinien. Dupinsche Zykliden erhält man auch als Enveloppen (Hüllflächen) aller Kugeln, welche drei gegebene berühren. Zu jeder Zyklide existieren zwei Scharen von Berührkugeln. Die Zykliden zählen deshalb auch zu den Kanalflächen, das sind Hüllgebilde einer einparametrischen Schar von Kugeln mit veränderlichem Radius. 7 x 14 600 Schilling (Verlag Martin Schilling) 02.12.1960 97679-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Gips P. Vogel Differentialgeometrie Sammlung Dresden Flächen 4. Ordnung (Quartiken), Inversion Dupinsche Zykliden kgl. TH München Schilling modellfotos/2003-3/full/24_45.jpg 363 Spindelzyklide Die Spindelzyklide besitzt neben 2 imaginären 2 reelle Knotenpunkte, welche 2 ineinander liegende Flächenmäntel vereinigen. Die aufgezeichneten Kreise sind Krümmungslinien. Übt man auf die Spindelzyklide eine Inversion aus und legt dabei das Inversionszentrum in einen der reellen Doppelpunkte, so erhält man einen gewöhnlichen Kreiskegel. 11 x 10 445 Schilling (Verlag Martin Schilling) 02.12.1960 97685-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Gips P. Vogel Differentialgeometrie Flächen 4. Ordnung (Quartiken) Dupinsche Zykliden kgl. TH München Schilling modellfotos/2003-2/full/18_57.jpg 375 Ringzyklide mit Schnittkurven von doppelt berührenden Ebenen Jede Rinzyklide trägt neben den zwei Scharen von Krümmungslinien noch eine weitere reelle Kegelschnittschar: die Schnittkurven der Doppeltangentialebenen. Exemplare aus allen drei Kreisscharen sind hier eingeritzt. Das Modell ist ein Abguss von einem Original aus dem mathematischen Seminar in Berlin. 12 x 5 240 Schilling (Verlag Martin Schilling) 02.12.1960 97697-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Gips Ernst Eduard Kummer (1810-1893) Differentialgeometrie Sammlung Dresden Flächen 4. Ordnung (Quartiken), Inversion Dupinsche Zykliden Schilling modellfotos/2003-3/full/24_43.jpg 387 Die verschlungene Regelschraubenfläche (2. Fall) Fadenmodell einer verschlungenen Schraubregelfläche. Der Neigungswinkel der Erzeugenden gegen den Normalschnitt ist kleiner als der Steigungswinkel der Kehlschraubenlinie. Die Fläche ist nicht abwickelbar. Der Normalschnitt ergibt eine verschlungene Kreisevolvente. Eine Schraubenfläche wird von einer Kurve beschrieben, die um eine Achse eine Schraubenbewegung ausführt. Wird eine Gerade als diese Kurve gewählt, so unterscheidet man geschlossene und offene Schraubenflächen, je nachdem die gebrauchte Gerade die Schraubachse trifft oder nicht. Von den offenen Schraubenflächen sind ferner drei Hauptfälle zu unterscheiden, welche die Modelle 1 bis 3 dieser Serie darstellen. Von den in der Technik besonders benutzten geschlossenen Schraubenflächen zeigen die Modelle 4 und 5 zwei Hauptfälle. Bei den offenen Schraubenflächen bezeichnet man als „Kehlschraubenlinie" den Ort, den der Schnittpunkt der Geraden und ihres kürzesten Abstandes mit der Achse bei der Schraubung beschreibt. Die Erzeugenden der Fläche sind durch gelbe, die Doppellinien durch rote Fäden bezeichnet. Es ist ein Gang der Schraubenfläche dargestellt, letztere durch einen koaxialen Zylinder begrenzt. 20 x 22 Schilling (Verlag Martin Schilling) 97532-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Seidenfäden, Metall Herrmann Wiener Algebraische Geometrie, Darstellende Geometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Schraubflächen, Regelflächen Schraubregelflächen C. Tesch Schilling modellfotos/2005-Juni-4-4/full/DSC_0028-k.jpg 392 Reliefperspektivisches Modell einer Bogenhalle Auf einem geneigten Sockel steht eine Bogenhalle. Der Betrachter (der Augpunkt liegt ca. 50 cm vor dem Modell) sieht die Halle über Eck. Das Modell ist um ein Fünftel kleiner als das historische Original von Ludwig Burmester. Das Modell ist die Rekonstruktion eines historischen Modells von Ludwig Burmester, der 1883 eine Serie aus drei Modellen für den Unterricht an Kunsthochschulen entwickelte. Es wurde mit freundlicher Unterstützung durch Joachim Weinhold von der UdK-Berlin in einem 3D-Drucker von Z-Corporation hergestellt. Die Rekonstruktion in der Modellierungssoftware Cinema4D stammt von Daniel Lordick. Nähere Informationen entnimmt man auch diesem <a href=http://www.lordick.darstellende-geometrie.de/docs/Lordick_Burmester.pdf target=_blank>Text (pdf)</a>. 2004 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle 3-D-Druck auf Gipsbasis Ludwig Burmester (1840 bis 1927) Darstellende Geometrie Sammlung Dresden Abbildungsmethoden, Zentralprojektion, Perspektive Reliefperspektive modellfotos/2005-Juni-3-1/full/DSC_0165.jpg 394 Bewegliches zweischaliges Hyperboloid mit Schere, versilbert Ausgehend von den Kreisschnittmodellen des Alexander Brill hat Herrmann Wiener eine Konstruktion in Metall entwickelt, bei der seine speziellen "geschränkten Verbindungsgelenke" zum Einsatz kommen. Die Vorbilder von Brill waren aus Kartonscheiben. Die erste Anregung zu solchen Modellen ist auf O. Henrici zurückzuführen. Durch die Verformbarkeit zeigt das Modell eine ganze Schar von zueinander affinen Hyperboloiden. Unveränderliche Achse der Begrenzungsellipse 38 Wiener (Wiener H., Treutlein P.; Leipzig) 1993 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall Alexander Brill (1842-1935) Algebraische Geometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Flächen 2. Ordnung (Quadriken) Bewegquadriken Wiener H., Treutlein P. Wiener modellfotos/2003-1/full/02_52.jpg 395 Bewegliches einschaliges Hyperboloid Ausgestattet mit Herrmann Wieners "geschränkten Verbindungsgelenken" kann dieses Modell bewegt werden und es lässt sich also eine ganze Schar zueinander affiner einschaliger Hyperboloide darstellen. Abb. Tafel III Wiener, Seite 11, Reihe V 2. Reihe 2.v.r. ODER(!) Reihe VI, 3. Reihe, 2.v.r. (ich erkenne keinen Unterschied), lt. Abb. Seite 13 Nummer 421 der Unterschied ist: Dreh- Hyperboloid oder dreiachsig zusammengeklappt 36 Wiener (Wiener H., Treutlein P.; Leipzig) 1993 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall Herrmann Wiener Algebraische Geometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Flächen 2. Ordnung (Quadriken) Bewegquadriken Wiener H., Treutlein P. Wiener modellfotos/2003-1/full/02_55.jpg 398 Bewegliches Ellipsoid mit Ständer, versilbert Ausgehend von den Kreisschnittmodellen des Alexander Brill hat Herrmann Wiener eine Konstruktion in Metall entwickelt, bei der seine speziellen "geschränkten Verbindungsgelenke" zum Einsatz kommen. Die Vorbilder von Brill waren aus Kartonscheiben. Die erste Anregung zu solchen Modellen ist auf O. Henrici zurückzuführen. Durch die Verformbarkeit zeigt das Modell eine ganze Schar von zueinander affinen Ellipsoiden, die auch eine Kugel mit einschließen. Unveränderliche Achse: 30 Wiener (Wiener H., Treutlein P.; Leipzig) 1993 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall Herrmann Wiener Algebraische Geometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Flächen 2. Ordnung (Quadriken) Bewegquadriken Wiener H., Treutlein P. Wiener modellfotos/2003-1/full/03_56.jpg 404 Begleitregelfläche des Torus bei Parallelbeleuchtung Das Modell zeigt ein schiefes Konoid mit einem Kreis als Leitkurve und seiner Kreisachse als Leitgerade. Die Richtebene ist 45 Grad zur Kreisebene geneigt. Die Fläche ist eine Netzfläche und von viertem Grad und siebter Sturmscher Art. Die schwarzen Markierungen auf den Erzeugenden zeigen Exemplare aus der Schar projektiver Kegelschnitte an. Bemerkenswert ist, dass sich die Kegelschnitte (Ellipsen) unter Normalprojektion auf die Leitkreisebene auf konfokale Kreise abbilden (siehe Zeichnung). Untersucht man die Eigenschattengrenze eines Torus (Kreisringfläche), so kann man die Flächennormalen längs der Eigenschattengrenze als Erzeugende einer sogenannten Begleitregelfläche auffassen. Für den vorliegenden Fall ist der Leitkreis der Begleitregelfläche der Mittenkreis des Torus und die Drehachse ist die Leitgerade. Die Begleitregelfläche kann also gewonnen werden, wenn man die Normalenkongruenz des Torus mit dem planaren Komplex der Normalen der Lichtrichtung schneidet. Das Ergebnis ist die vorliegende Regelfläche, deren Gestalt in Abhängigkeit von der Lichtrichtung hinsichtlich ihrer Richtebene variiert. Die Fläche kann zu einem Drehzylinder durch den Mittenkreis und die zur Lichtrichtung normale Meridianeben entarten (Beleuchtung aus einem Fernpunkt der Mittenkreisebene) oder mit der Mittenkreisebene zusammenfallen (Beleuchtung parallel zur Drehachse). 20 x 30 x 16,5 200 2001 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Karton, Holz Daniel Lordick Konstruktive Geometrie, Darstellende Geometrie, Liniengeometrie Sammlung Dresden Regelflächen, Flächen 4. Ordnung (Quartiken), Parallelprojektion Lordicksche Begleitregelflächen Daniel Lordick modellfotos/2003-1/full/05_59.jpg 406 Hauptkrümmungskreise in einem elliptischen Flächenpunkt Principal circles of curvature in an elliptic point of a surface Cercles de courbure principaux en un point elliptique de la surface Das Modell zeigt die Umgebung eines elliptischen Flächenpunktes P mit der Flächennormalen durch P und den zugehörigen Hauptkrümmungskreisen (rot). Die Mittelpunkte dieser Kreise liegen auf der Flächennormalen und werden durch P nicht getrennt. The model shows the neighbourhood of an elliptic point P with the normal of the surface and the two corresponding principal circles of curvature. The centres of the latter are located on the normal of the surface, with P not lying between them. Le modèle montre le voisinage d'un point elliptique P, la normale à la surface et les deux cercles de courbure principaux correspondants. Les centres des cercles se trouvent sur la normale à la surface; P n'est pas situé entre eux. Das dargestellte Flächenstück repräsentiert zugleich das in einem allgemeinen elliptischen Punkt P oskulierende Scheitelparaboloid (ein elliptisches Paraboloid). Tatsächlich haben hier die reellen Parallelschnitte zur Tangentialebene in P die Gestalt der Dupinschen Indikatrix in P (eine Ellipse). Flächengebiete mit ausschließlich elliptischen Flächenpunkten heißen doppelt gleichsinnig gekrümmt bzw. kuppel- oder eiförmig. Die Gaußsche Krümmung in P ist positiv. 23,5 x 18 x 36 750 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 24.04.1958 78807-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall, Holz lackiert Differentialgeometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Flächenkrümmung Krümmung in einem Flächenpunkt Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-1/full/06_48.jpg 407 Hauptkrümmungskreise in einem parabolischen Flächenpunkt Principal circles of curvature in a parabolic point of a surface Cercles de courbure principaux en un point parabolique de la surface Das Modell zeigt die Umgebung eines parabolischen Flächenpunktes P mit der Flächennormalen durch P und den zugehörigen Hauptkrümmungskreisen (rot). Einer der Krümmungskreise ist in eine Gerade ausgeartet. The model shows the neighbourhood of a parabolic point P with the normal of the surface. One of the principal circles of curvature is degenerated to a straight line. Le modèle montre le voisinage d'un point parabolique P et la normale à la surface. L'un des cercles de courbure principaux est dégénéré en une droite. Das dargestellte Flächenstück repräsentiert zugleich das in einem allgemeinen parabolischen Punkt P oskulierende Scheitelparaboloid (ein parabolischer Zylinder). Tatsächlich haben hier die reellen Parallelschnitte zur Tangentialebene in P die Gestalt der Dupinschen Indikatrix in P (ein Geradenpaar). Flächengebiete mit ausschließlich parabolischen Flächenpunkten heißen einfach gekrümmt und sind abwickelbar. Die Gaußsche Krümmung in P ist null. Im Allgemeinen erfüllen die elliptischen und die hyperbolischen Punkte einer Fläche gewisse zusammenhängende Gebiete, die durch Grenzlinien aus parabolischen Punkten getrennt werden. 20 x 16,5 x 36 700 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 24.04.1958 78808-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall, Holz lackiert Differentialgeometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Flächenkrümmung Krümmung in einem Flächenpunkt Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-1/full/06_51.jpg 408 Hauptkrümmungskreise in einem hyperbolischen Flächenpunkt Principal circles of curvature in a hyperbolical point of a surface Cercles de courbure principaux en un point hyperbolique de la surface Das Modell zeigt die Umgebung eines hyperbolischen Flächenpunktes P mit der Flächennormalen durch P und den zugehörigen Hauptkrümmungskreisen (rot). Die Mittelpunkte dieser Kreise liegen auf der Flächennormalen und werden durch P getrennt. In der Umgebung von P durchsetzt die Fläche die Tangentialebene in einer reellen Kurve. The model shows the neighbourhood of a hyperbolical point P with the normal of the surface and the two corresponding principal circles of curvature. Their centres are located on the normal of the surface, with P lying between them. Le modèle montre le voisinage d'un point hyperbolique P, la normale à la surface et les deux cercles de courbure principaux correspondants. Les centres des cercles se trouvent sur la normale; P est situé entre eux. Das dargestellte Flächenstück repräsentiert zugleich das in einem allgemeinen hyperbolischen Punkt P oskulierende Scheitelparaboloid (ein hyperbolisches Paraboloid, HP-Fläche). Tatsächlich haben hier die Parallelschnitte zur Tangentialebene in P die Gestalt jeweils einer Hälfte der Dupinschen Indikatrix in P (ein Paar konjugierter Hyperbeln). Die Tangentialebene schneidet die HP-Fläche nach zwei Erzeugenden, zugleich die Schmiegtangenten in P. Flächengebiete mit ausschließlich hyperbolischen Flächenpunkten heißen doppelt gegensinnig gekrümmt bzw. sattelförmig. Die Gaußsche Krümmung in P ist negativ. 24 x 18 x 46 800 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 24.04.1958 78809-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall, Holz lackiert Differentialgeometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Flächenkrümmung Krümmung in einem Flächenpunkt Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-1/full/06_53.jpg 409 Begleitregelfläche einer Kreisschiebfläche bei Parallelbeleuchtung Das Modell zeigt eine konoidale Regelfläche mit einem Kreis und einer weiteren Ellipse als Leitkurven. Weil die Kegelschnitte projektiv gekoppelt sind, ist die Regelfläche vierten Grades fünfter Sturmscher Art. Die Fläche wird von einer verschlungenen Kurve begrenzt und trägt eine weitere Kurve. Auf jeder Erzeugenden halbiert der Leitkreis die Strecke zwischen den Kurvenpunkten. Die Kurve ist ein Eigenschattengrenze einer Kreisschiebfläche. Untersucht man die Eigenschattengrenze einer Kreisschiebfläche unter Parallelbeleuchtung, so erkennt man, dass im Allgemeinen zu jedem erzeugenden Kreis der <a href=karte.php?ID=410>Kreisschiebfäche</a> zwei Punkte der Eigenschattengrenze gehören. Diese Punkte liegen stets auf einem Durchmesser des entsprechenden Kreises. Die Durchmessergeraden einer Schiebkreisschar durch die Eigenschattengrenze erfüllen folglich eine Regelfläche. Diese sogenannte Begleitregelfläche der Eigenchattengrenze der Kreisschiebfläche ist hier dargestellt. Unter speziellen Annahmen lässt sich die Begleitregelfläche wesentlich vereinfachen. Ein <a href=karte.php?ID=411>Beispiel</a> hierfür ist in der Modellsammlung zu sehen. 42 x 10 x 25 250 2001 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Messing Daniel Lordick Konstruktive Geometrie, Darstellende Geometrie, Liniengeometrie Sammlung Dresden Regelflächen, Flächen 4. Ordnung (Quartiken), Parallelprojektion Lordicksche Begleitregelflächen Daniel Lordick modellfotos/2003-1/full/07_43.jpg 410 Kreisschiebfläche Das Modell zeigt eine allgemeine Kreisschiebfläche. Ausschnitte von Kreisschiebflächen finden als Wölbflächen Anwendung. Die Fläche ist von vierter Ordnung und enthält eine hyperbelförmige Doppelkurve, längs der die zwei spiegelsymmetrischen Hälften der Fläche zusammengeheftet sind. Der reelle Teil der Doppelkurve wird jeweils durch uniplanare Zwickpunkte begrenzt. Die Eigenschattengrenze der Kreisschiebfläche, die in der beigefügten Zeichnung zu sehen ist, führt auf eine bemerkenswerte Begleitregelfläche, die ebenfalls in der Sammlung dokumentiert ist. 9 x 26 x 21 490 2001 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Messing Daniel Lordick Konstruktive Geometrie, Darstellende Geometrie Sammlung Dresden Flächen 4. Ordnung (Quartiken) Lordicksche Begleitregelflächen Daniel Lordick modellfotos/2003-1/full/07_46.jpg 411 Spezielles Konoid Das Modell zeigt ein schiefes Konoid mit einem Leitkreis. Die Richtebene ist zur Kreisebene normal. Die Leitgerade ist sowohl zur Kreis- als auch zur Richtebene 45° geneigt. Die Fläche ist vierten Grades und siebter Sturmscher Art. Neben dem halben Leitkreis ist noch ein zum Leitkreis projektiver Kegelschnitt als Begrenzung angegeben. Bemerkenswert ist, dass die Erzeugendenstücke alle gleich lang sind und vom Leitkreis halbiert werden. Unter gewissen Annahmen lässt sich bei Parallelbeleuchtung einer speziellen Kreisschiebfläche die vorliegende Begleitregelfläche erzeugen: Es seien Profil und Leitkreis kongruent und in zueinander normalen Ebenen. Dann zerfällt die Doppelkurve (Hyperbel) der Kreisschiebfläche in ein rechtwinkliges Geradenpaar. Die Lichtquelle setzt man in den Fernpunkt einer der Geraden. Diese wird Leitgerade der Begleitregelfläche und fällt mit dem inneren Zweig der Eigenschattengrenze zusammen. Der äußere Zweig der Eigenschattengrenze enspricht jener Ellipse, die das Begleitregelflächenmodell begrenzt und ist somit von sehr viel einfacherer Gestalt als die <a href=karte.php?ID=410>allgemeine Eigenschattengrenze</a>, die von 8. Ordnung ist. Die <a href=karte.php?ID=409>allgemeine Begleitregelfläche</a> ist ebenfalls von deutlich komplexerer Gestalt als das vorliegende Modell. 11,5 x 11,5 x 11,5 60 2001 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Messing Daniel Lordick Konstruktive Geometrie, Darstellende Geometrie, Liniengeometrie Sammlung Dresden Regelflächen, Flächen 4. Ordnung (Quartiken) Lordicksche Begleitregelflächen Daniel Lordick modellfotos/2003-1/full/07_47.jpg 413 Schiefe geschlossene Strahlschraubfläche (Korkziehergewinde) Corkscrew surface Das Modell zeigt einen Teil der sogenannten Korkzieherfläche. Die erzeugenden Geraden schneiden die Achse der Schraubung und sind zu ihr geneigt. Die Fläche ist durch einen zur Schraublinie koaxialen Rotationszylinder begrenzt, dessen Radius so gewählt ist, dass der achsennächste Selbstschnitt der Fläche auf dem Zylindermantel verläuft. The model shows a part of the so-called "sharp screw" or "corkscrew surface". The generating lines intersect its axis and are inclinied towards it. The surface is limited by a coaxial right circular cylinder, the radius of which is chosen such as to make the edge of the surface meet the lateral area of the cylinder. Le modèle représent une hélicoide normal à l'axe, engendré par une droite, qui s'appuie sur une hélice et qui rencontre l'axe sous un angle constant. La surface est limitée par un cylindre coaxial à l#axe de l#hélice; le rayon du cylindre est choisi de telle manière que l'arête de l'hélicoide est située sur l'aire latérale. 23 x 23 x 65 810 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 1961 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall, Gummi, Kunststoff Darstellende Geometrie, Konstruktive Geometrie, Kinematik Sammlung Dresden Schraubflächen, Regelflächen Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-1/full/09_49.jpg 414 Schraubenlinie mit begleitendem Dreibein Das Modell enthält je einen Mantel der Tangenten- (gelb) und der Binormalenfläche (grün) sowie einen Teil der Hauptnormalenfläche (rot) einer Schraubenlinie. Die Erzeugenden dieser Flächen sind durch die Schraubenlinie und einen zur Achse der Schraubenlinie koaxialen Zylinder begrenzt. Die verbleibenden Segmente der Tangenten, Hauptnormalen und Binormalen bestimmen ein positiv orientiertes Dreibein für die Punkte der Schraubenlinie. In model the tangent, principal normal, and binormal surface of a circular helix are represented. The generating lines of these surfaces are limited by the circular helix and a right circular cylinder, that is coaxial ti the axis of the first curve. the remaining segments of the tangents, the principal normals, and the binormals determine a right.handed system of axes in every point of the circular helix. Le modèle représent une hélice avec la surface des tnagentes, la surface des normales et des binormales. Les génératices de cettes surfaces sont limitées par l'hélice et un cylindre coaxiale. Les segments restants des tangentes, des normales et des binormales déterminet un système des axes de sens positif en tout point de l'hélice. 23 x 23 x 56 1000 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall, Kunststoff, Garn Differentialgeometrie Sammlung Dresden Kurventheorie, Schraubflächen Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-1/full/09_51.jpg 415 Begleitregelfläche der Schraubrohrfläche bei Parallelbeleuchtung Das Modell zeigt ein schiefes Konoid mit einer Schraublinie als Leitkurve. Die Leitgerade ist eine Parallele der Schraubachse. Die Flächennormalen durch die Eigenschattengrenze einer Schraubfläche erzeugen bei allgemeiner Parallelbeleuchtung die vorliegende Begleitregelfläche. Ihre Richtebene ist normal zur Lichtrichtung. Die Leitgerade verläuft durch den Drehfluchtpunkt der Lichtstrahlen. Bei Beleuchtung normal zur Schraubachse fallen die Leitgerade durch den Drehfluchtpunkt und die Ferngerade der Richtebene zusammen und die Begleitregelfläche ist nicht mehr in ein hyperbolisches sondern in ein parabolisches Netz eingebettet. Die Projektivität längs der Ferngerade wird dann durch das Strahlgewinde der Schraubung induziert. Wird die Lichtquelle im Fernpunkt der Schraubachse angenommen, so ist die Begleitregelfläche eine Wendelfläche. 19 x 20 x 45 600 2001 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle diverse Daniel Lordick Konstruktive Geometrie, Darstellende Geometrie, Liniengeometrie Sammlung Dresden Regelflächen, Transzendente Flächen Lordicksche Begleitregelflächen Daniel Lordick modellfotos/2003-1/full/09_53.jpg 430 Graph von 6w=eˆ(1/6z) Abguss nach einem im mathematischen Institut der kgl. techn. Hochschule in München angefertigten Original Dieses Modell zeigt den Realteil der Funktion w=1/6*eˆ(1/6*z), das heißt den Graphen von u=1/6*eˆx’*cos(y’), wobei w=u+i*v, z=x+i*y, x’=x/(6*(xˆ2+yˆ2)) und y’=-y/(6*(xˆ2+yˆ2)). Der Imaginärteil v=1/6*eˆx’*sin(y’) unterscheidet sich nicht wesentlich davon und wurde deswegen nicht gesondert dargestellt. Man sagt, dass eine analytische Funktion, die in einer Umgebung eines Punktes z0 mit Ausnahme diese Punktes selbst definiert ist, in diesem Punkt eine wesentliche Singularität besitzt, wenn f dort weder einen Pol hat noch analytisch in z0 fortgesetzt werden kann. Während das Verhalten einer analytischen Funktion in der Nähe eines Pols recht übersichtlich ist, ist es in der Nähe einer wesentlichen Singularität »sehr wild«. 17 x 18 x 15 1990 Schilling (Verlag Martin Schilling) 04.11.1960 78831-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Gips Walther Dyck Analysis Sammlung Dresden Algebraische Flächen, Funktionentheorie J. Kleiber Schilling modellfotos/2003-2/full/14_48.jpg 438 Raumkurve 4. Ordnung erster Art und ihre abwickelbaren Flächen (Erster Fall) Die Kurve liegt auf vier reellen Kegeln, Darstellung der Kurve als Schnitt dieser Kegel. Im einzelnen sind die Kegel ausgebildet als elliptischer Zylinder, hyperbolischer Zylinder, Drehkegel und allgemeiner Kreiskegel. Durch jeden Kurvenpunkt laufen vier Fäden und halten eine Perle. Die Gesamtheit der Perlen veranschaulicht die Kurve. Die vorliegende Raumkurve vierter Ordnung ist der Schnitt der Flächen zweiter Ordnung eines Büschels. Es gibt drei wesentlich verschieden Formen der als reell vorausgesetzten Kurve. Die Form hängt von der Reellität der vier im Flächenbüschel enthaltenen Kegel ab. Je nachdem von diesen nämlich vier oder zwei oder keine reell sind, besitzt ihre Schnittkurve zwei paare Äste, einen einzigen Ast oder zwei unpaare Äste. Am Modell können außerdem 18 verschiedene Formen von ebenen Bildern der Raumkurve beobachtet werden, wenn man das Auge in die verschiedenen Teile des Raumes bringt, die durch die Kegel und die Tangentenfläche der Kurve begrenzt werden. Es sind Bildkurven mit zwei Doppelpunkten. Es existiert ein weiteres Modell aus der Serie, das die Tangentenfläche der Raumkurve darstellt. 30 x 30 x 30 2070 Schilling (Verlag Martin Schilling) 04.11.1960 78770-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Seidenfäden, Metall Herrmann Wiener Konstruktive Geometrie, Algebraische Geometrie Sammlung Dresden Flächen 2. Ordnung (Quadriken) Raumkurven 4. Ordnung Schilling modellfotos/2003-2/full/19_55.jpg 442 Durchdringungsphänomen an Drehzylinder und Drehkegel Penetration of a right cicular cone with a right circular cylinder L'intersection d'un cône droit circulaire et d'un cylindre droit circulaire Das Modell zeigt eine Durchdringung eines geraden Kreiskegels mit einem geraden Kreiszylinder. Der Zylinder kann herausgezogen werden, so dass die Durchdringungskurve auf dem Kegelmantel deutlich erkennbar wird. In diesem Modell schneiden alle Mantellinien des Zylinders den Kegel. Die Durchdringungskurve zerfällt in zwei getrennte Raumkurven (vollständige Durchdringung). The model shows the penetration of a right circular cone with a right circular cylinder. The cylinder can be pulled out, in order to show quite clear the curve of intersection on the surface of the cone. In this model all the generators of the cylinder intersect the cone; one obtains two distinct space curves as curve of intersection. Le modèle montre l'intersection d'un cône droit circulaire et d'un cylindre droit circulaire; on peut détirer le cylindre du cône, pour que la courbe de pénétration soit bien visible. En modèle toutes les génératrices du cylindre coupent le cône; la courbe de pénétration se compose de deux courbes fermées en space sans points communs. 19,5 x 22 / 7,5 x 23 450 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 07.11.1962 78790-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff, Metall Elementarmathematik, Darstellende Geometrie Sammlung Dresden Kurven 4. Ordnung, Schnittaufgaben Durchdringungen Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-4-3/full/DSC_0020-k.jpg 443 Affensattel (zwei Exemplare) The so-called "Monkey saddle"-surface Une surface nommée "selle du singe" Das Modell zeigt eine Fläche – den sogenannten Affensattel –, bei der in einem Punkt P drei Erhebungen und drei Senken so zusammenstoßen, dass die Fläche bei einer Drehung um 2/3Pi mit sich selbst zur Deckung kommt. Jeder Normalenschnitt durch P besitzt in P einen Wendepunkt, also die Krümmung Null. P stellt einen isolierten parabolischen Nabelpunkt dar. The model shows a surface in which three ridges and three descents meet at a point P such that by a turning about 2pi/3 the surface is transformed into itself. Each normal section through P has a point of inflexion at P and thus ist curvature at P is zero. Hence P represents an isolated parabolic umbilical point. Sometimes this surface is called "monkey saddle". Le modèle montre une surface ayant trois enlèvements et trois enfoncements, qui rencontrent en un point P de sort que par une rotation de 2pi/3 la surface coïncide avec elle-même. Toute section normale menée par P a un point d'inflexion, c'est à dire la courbure en P est zéro et P est un ombilic parabolique isolé. La surface est nommée "selle du singe". Die Namengebung lehnt sich an den Begriff <a href=karte.php?ID=408>Sattelfläche</a> an; hier ist allerdings, im Gegensatz zum gewöhnlichen Sattel, auch noch Platz für ein drittes Bein – oder eben den Schwanz eines Affen. 21 x 21 x 22 350 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 30.11.1961 78816-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff Differentialgeometrie Sammlung Dresden Flächenkrümmung Stoll modellfotos/2003-2/full/21_54.jpg 444 Kombinatorisch reguläres Polyeder (Dycksche Karte) Combinatorially Regular Polyhedron (Dyck's Map) Das Modell zeigt eine maximal symmetrische polyedrische Realisierung der Dyckschen regulären Karte. Es ist kombinatorisch regulär, d.h. die (kombinatorische) Automorphismengruppe (der Ordnung 192) operiert transitiv auf den Fahnen. Eine Fahne ist ein Tripel aus einer Seitenfläche, einer darin enthaltenen Kante und einer der Ecken dieser Kante. Das Modell kann daher als ein verallgemeinerter Platonischer Körper angesehen werden. Die geometrische Symmetriegruppe hat die Ordnung 6 (eine 3-zählige und drei 2-zählige Achsen). Die 12 Ecken liegen in zwei parallelen Ebenen und es gibt 6 Paare kollinearer Kanten. The model shows a maximally symmetric realization of Dyck's regular map. It is combinatorially regular, which means that its (combinatorial) automorphism group is flag-transitive (of order 192). A flag is a triple of a face, an edge of that face and a vertex of that edge. Thus the model can be considered as a generalization of a Platonic solid. Its (geometric) symmetry group is of order 6 (an axis of symmetry of order 3 and 3 axes of order 2).The 12 vertices lie in a pair of parallel planes and there are 6 pairs of collinear edges. 10 x 29 x 34 1994 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Messing Ulrich Brehm Polyedergeometrie, Diskrete Geometrie Sammlung Dresden Kombinatorisch reguläre Polyeder Brehmsche Extremalpolyeder Werkstatt Mathematik der TU Dresden modellfotos/2003-2/full/22_46.jpg 445 Minimales polyedrisches Modell der Boyschen Fläche (Version 1) Minimal Polyhedral Model of the Boy Surface (version 1) Die Modelle Version 1-3 zeigen drei (kombinatorisch) verschiedene polyedrische Modelle der Boyschen Fläche mit 9 Ecken (der kleinstmöglichen Eckenzahl) und 10 Seitenflächen. Ein polyedrisches Modell der Boyschen Fläche ist eine polyedrische Fläche ohne Selbstdurchdringungen in Umgebungen der Ecken, welche homöomorph zur reellen projektiven Ebene ist. Eine solche Fläche hat (aus topologischen Gründen) notwendigerweise (generisch) einen Tripelpunkt und daher mindestens 9 Ecken. Die Modelle haben eine 3-zählige Symmetrieachse (wie die originale Boysche Fläche). In version 1 sind 3 der Seiten Parallelogramme und drei Seiten nichtkonvexe Vierecke. In Version 2 und 3 sind drei der Seiten nichtkonvexe Fünfecke, welche zusammen ein symmetrisches Möbiusband bilden. Die Selbstschnittfigur ist in jedem der Modelle ein nichtebenes 6-Eck, von dem 3 Seiten sich im Tripelpunkt schneiden. In einige der Seiten sind "Fenster" geschnitten (um materielle Selbstschnitte zu vermeiden und für eine bessere Sichtbarkeit). <a href="https://mathematical-models.org/models/view/446">(-> Version 3)</a> The models version 1-3 show three (combinatorially) different polyhedral models of the Boy surface with 9 vertices, (which is smallest possible) and only 10 faces. A polyhedral model of the Boy surface is a polyhedral surface without self-intersections in the neighborhood of vertices which is homeomorphic to the real projective plane. Such a surface must have (generically) a triple point (for topological reasons). This implies that it must have at least 9 vertices. The models have a symmetry axis of order 3 (like the original Boy surface). In version 1 three of the faces are parallelograms and three are nonconvex quadrangles. In versions 2 and 3 three of the faces are nonconvex pentagons which together form a symmetric Möbius strip. The selfintersection figure in each of the models is a nonplanar hexagon with self-intersections (3 edges meeting in the triple point). In the models in some of the faces are cut "windows" (to avoid material self-itersections and to improve visibility of the essential features). 20 x 32 x 32 1994 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Messing Ulrich Brehm Polyedergeometrie, Topologie Sammlung Dresden Polyedrische Flächen, einseitige Flächen Brehmsche Extremalpolyeder Werkstatt Mathematik der TU Dresden modellfotos/2003-2/full/22_47.jpg 446 Minimales polyedrisches Modell der Boyschen Fläche (Version 3) Minimal Polyhedral Model of the Boy Surface (version 3) Die Modelle Version 1-3 zeigen drei (kombinatorisch) verschiedene polyedrische Modelle der Boyschen Fläche mit 9 Ecken (der kleinstmöglichen Eckenzahl) und 10 Seitenflächen. Ein polyedrisches Modell der Boyschen Fläche ist eine polyedrische Fläche ohne Selbstdurchdringungen in Umgebungen der Ecken, welche homöomorph zur reellen projektiven Ebene ist. Eine solche Fläche hat (aus topologischen Gründen) notwendigerweise (generisch) einen Tripelpunkt und daher mindestens 9 Ecken. Die Modelle haben eine 3-zählige Symmetrieachse (wie die originale Boysche Fläche). In version 1 sind 3 der Seiten Parallelogramme und drei Seiten nichtkonvexe Vierecke. In Version 2 und 3 sind drei der Seiten nichtkonvexe Fünfecke, welche zusammen ein symmetrisches Möbiusband bilden. Die Selbstschnittfigur ist in jedem der Modelle ein nichtebenes 6-Eck, von dem 3 Seiten sich im Tripelpunkt schneiden. In einige der Seiten sind "Fenster" geschnitten (um materielle Selbstschnitte zu vermeiden und für eine bessere Sichtbarkeit). <a href="https://mathematical-models.org/models/view/445">(-> Version 1)</a> The models version 1-3 show three (combinatorially) different polyhedral models of the Boy surface with 9 vertices, (which is smallest possible) and only 10 faces. A polyhedral model of the Boy surface is a polyhedral surface without self-intersections in the neighborhood of vertices which is homeomorphic to the real projective plane. Such a surface must have (generically) a triple point (for topological reasons). This implies that it must have at least 9 vertices. The models have a symmetry axis of order 3 (like the original Boy surface). In version 1 three of the faces are parallelograms and three are nonconvex quadrangles. In versions 2 and 3 three of the faces are nonconvex pentagons which together form a symmetric Möbius strip. The selfintersection figure in each of the models is a nonplanar hexagon with self-intersections (3 edges meeting in the triple point). In the models in some of the faces are cut "windows" (to avoid material self-itersections and to improve visibility of the essential features). 27 x 33 x 33 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Messing Ulrich Brehm Polyedergeometrie, Topologie Sammlung Dresden Polyedrische Flächen, einseitige Flächen Brehmsche Extremalpolyeder Werkstatt Mathematik der TU Dresden modellfotos/2003-2/full/22_51.jpg 458 Minimales polyedrisches Modell der Boyschen Fläche (Version 2) Minimal Polyhedral Model of the Boy Surface (version 2) Die Modelle Version 1-3 zeigen drei (kombinatorisch) verschiedene polyedrische Modelle der Boyschen Fläche mit 9 Ecken (der kleinstmöglichen Eckenzahl) und 10 Seitenflächen. Ein polyedrisches Modell der Boyschen Fläche ist eine polyedrische Fläche ohne Selbstdurchdringungen in Umgebungen der Ecken, welche homöomorph zur reellen projektiven Ebene ist. Eine solche Fläche hat (aus topologischen Gründen) notwendigerweise (generisch) einen Tripelpunkt und daher mindestens 9 Ecken. Die Modelle haben eine 3-zählige Symmetrieachse (wie die originale Boysche Fläche). In version 1 sind 3 der Seiten Parallelogramme und drei Seiten nichtkonvexe Vierecke. In Version 2 und 3 sind drei der Seiten nichtkonvexe Fünfecke, welche zusammen ein symmetrisches Möbiusband bilden. Die Selbstschnittfigur ist in jedem der Modelle ein nichtebenes 6-Eck, von dem 3 Seiten sich im Tripelpunkt schneiden. In einige der Seiten sind "Fenster" geschnitten (um materielle Selbstschnitte zu vermeiden und für eine bessere Sichtbarkeit). The models version 1-3 show three (combinatorially) different polyhedral models of the Boy surface with 9 vertices, (which is smallest possible) and only 10 faces. A polyhedral model of the Boy surface is a polyhedral surface without self-intersections in the neighborhood of vertices which is homeomorphic to the real projective plane. Such a surface must have (generically) a triple point (for topological reasons). This implies that it must have at least 9 vertices. The models have a symmetry axis of order 3 (like the original Boy surface). In version 1 three of the faces are parallelograms and three are nonconvex quadrangles. In versions 2 and 3 three of the faces are nonconvex pentagons which together form a symmetric Möbius strip. The selfintersection figure in each of the models is a nonplanar hexagon with self-intersections (3 edges meeting in the triple point). In the models in some of the faces are cut "windows" (to avoid material self-itersections and to improve visibility of the essential features). 33 x 33 x 27 1995 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Messing Ulrich Brehm Topologie Sammlung Dresden Polyedrische Flächen, einseitige Flächen Brehmsche Extremalpolyeder Werkstatt Mathematik der TU Dresden modellfotos/2005-Juni-1/full/DSC_0015-k.jpg 459 Durchdringung zweier Drehkegel Penetration of two right circular cones Die Modelle zeigen die vier wesentlichen Durchdringungsphänomene von zwei Drehkegeln. In allen Modellen kann einer der Kegel (rot) herausgezogen werden, so dass die Schnittkurve im anderen deutlich erkennbar wird. Die Modelle im Einzelnen (von links nach rechts): Im linken Modell schneiden alle Mantellinien des einen Kegels den Zweiten; die Schnittkurve, eine Raumkurve vierter Ordnung, besteht aus zwei getrennte Teilen. Es liegt eine vollständige Durchdringung vor. Im zweiten Modell besitzt jeder der Kegel Mantellinien , die den anderen Kegel nicht schneiden. In diesem Fall des "Anschneidens" ist die Schnittkurve eine geschlossene Raumkurve ohne Doppelpunkt. Im dritten Modell haben beide Kegel eine gemeinsame Tangentialebene; die Schnittkurve, eine geschlossene Raumkurve vierter Ordnung, besitzt deshalb einen Doppelpunkt. Im rechten Modell besitzen die beiden Kegel zwei gemeinsame Tangentialebenen. Die Schnittkurve zerfällt in zwei Ellipsen. The models show the penetration of two right circular cones, where four different cases arise. In all these models one cone can be pulled out, in order to show quite clear the curve of intersection. In the left model all straight lines of the surface of one cone intersect the second cone; one obtains two distinct space curves as intersection. In the second model the cones are situated such as each cone has straight lines of the surface that do not intersect the surface of the other cone. In this case the intersection is a closed space curve without double points. In the right model both cones have two common tangency planes; the curve of intersection splits up into two ellipses. Drehkegel sind Flächen zweiter Ordnung. Wenn sich zwei Flächen zweiter Ordnung schneiden, entsteht im Allgemeinen eine Schnittkurve vierter Ordnung. Diese kann maximal einen Doppelpunkt besitzen. Treten zwei Doppelpunkte auf, so zerfällt die Kurve in zwei (ebene) Kurven zweiter Ordnung. 19,5 x 24,5 je 400 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) ca. 1962 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff Darstellende Geometrie, Elementarmathematik, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Schnittaufgaben, Flächen 2. Ordnung (Quadriken) Durchdringungen Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-4-3/full/DSC_0019.jpg 460 Durchdringung zweier Drehzylinder Penetration of two right circular cylinders L'intersection de deux cylindres droits circulaires Das Modell zeigt die Durchdringung von zwei geraden Kreiszylindern. Einer der beiden Zylinder kann herausgezogen werden, so dass die Durchdringungskurve im anderen deutlich erkennbar wird. Beide Zylinder haben eine gemeinsame Tangentialebene; die Durchdringungskurve besitzt einen Doppelpunkt. The model shows the penetration of two right circular cylinders. One of the cylinders can be pulled out. Therefore the curve of intersection can be seen clearly. In this model both cylinders have a common tangency plane; the curve of intersection has one double point. Le modèle montre l'intersection de deux cylindres droits circulaires. On peut détirer l'un des cylindres, pour que la courbe de pénétration soit bien visible. En modèle les deux cylindres ont un plan tangent commun; la courbe de pénétration a un point double. Drehzylinder sind Flächen zweiter Ordnung. Wenn sich zwei Flächen zweiter Ordnung schneiden, entsteht im Allgemeinen eine Schnittkurve vierter Ordnung. Diese kann maximal einen Doppelpunkt besitzen. Treten zwei Doppelpunkte auf, so zerfällt die Kurve in zwei (ebene) Kurven zweiter Ordnung. Dieses Phänomen kann an Kreuzgewölben beobachtet werden. Dort sind die beteiligten Drehzylinder vom selben Durchmesser, die Achsen schneiden einander normal und die Teilkurven sind Ellipsen. 1. Zylinder: Durchmesser 11, Höhe 25; 2. Zylinder Durchmesser 7,5, Höhe 30 750 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 10.11.1961 97520-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff Elementarmathematik, Darstellende Geometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Flächen 2. Ordnung (Quadriken), Schnittaufgaben, Algebraische Flächen Durchdringungen Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-2/full/21_44.jpg 461 Kreisschnitt eines geraden elliptischen Zylinders Circular section of a right elliptic cylinder Section circulaire d'un cylindre elliptique Das Modell zeigt einen Kreisschnitt eines geraden elliptischen Zylinders und veranschaulicht die Affinität zwischen Kreis und Ellipse. Wird ein Teil dieses Zylinders um 180° gedreht, so ergibt sich das Knierohr eines elliptischen Zylinders. Der kreisförmige Schnitt der beiden Teilstücke ermöglicht verschiedene Knickwinkel bei stets vollflächigem Kontakt. The model shows a circular section of a right elliptic cylinder, and illustrates the affinity of circle and ellipse. If one part of the cylinder rotates through an angle of 180°, the two parts form the square knee of a right elliptic cylinder. The angle can liberately be changed while the two parts stay in perfect contact. Le modèle représent la section circulaire d'un cylindre elliptique et la transformation d'un cercle en une ellipse et réciproquement par une projection verticale. 18 x 13 x 37,5 585 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 21.11.1958 78796-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff Elementarmathematik Sammlung Dresden Schnittaufgaben, Flächen 2. Ordnung (Quadriken), Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-2/full/20_46.jpg 462 Tangentialebene in einem hyperbolischen Punkt der Glockenfläche A tangent plane in a hyperbolical point of the surface of revolution Le plan tangent en un point hyperbolique de la surface de révolution Das Modell veranschaulicht, dass die Tangentialebene in einem hyperbolischen Punkt der Glöckenfläche diese in einer schleifenartigen Kurve schneidet, für die der Berührungspunkt ein Doppelpunkt ist. The model illustrates that the tangent plane in a hyperbolical point of the Bell-shaped surface intersects the latter in a curve with a node in the point of contact. Le modèle démontre que le plan tangent en un point hyperbolique coupe la surface en une courbe avec un nœud au point de contact. Jede Drehfläche ist zu jeder ihrer Meridianebenen symmetrisch. Folglich sind auch die ebenen Schnitte einer Drehfläche bezüglich jener Meridianebene symmetrisch, die zur Schnittebene normal ist. Dieser Sachverhalt lässt sich an den Tangentialschnitten leicht nachvollziehen. 35 x 14 x 20 940 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 30.07.1958 78810-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Darstellende Geometrie, Konstruktive Geometrie, Differentialgeometrie Sammlung Dresden Drehflächen Glockenfläche Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2003-1/full/08_44.jpg 500 Elliptischer Schnitt eines Drehkegels Elliptic section of a right circular cone Section elliptique d'un cône de révolution Das Modell zeigt den Schnitt einer Ebene mit einem Drehkegel. Weil der Schnittwinkel der Ebene mit der Achse des Drehkegels größer als der Öffnungswinkel des Kegels ist, entsteht als Schnittfigur eine Ellipse. Haupt- und Nebenachse der Ellipse sind gekennzeichnet. Die Hauptachse der Ellipse schneidet die Achse des Drehkegels. The plane parallel to the plane of the ellipse through the apex of the cone has no further point in common with the cone. Le plan d'intersection coupe toutes les génératrices sur une même nappe. Le plan paralléle au plan de l'ellipse par le somment du cône n'a plus des autres points communs avec le cône. Der Schnitt von Ebene und Kreiskegel (Kegel 2. Ordnung) ist immer eine eine Kurve 2. Ordnung, ein sogenannter Kegelschnitt. An einem Drehkegel werden in dieser Modellserie die verschiedenen Gestalten durchgespielt, die ein Kegelschnitt haben kann: Ellipse, Parabel und Hyperbel. Die Gestalt des Kegelschnittes ist abhängig vom Winkel, den die Schnittebene zur Drehachse einnimmt, im Verhältnis zum Öffnungswinkel des Drehkegels, das ist der Winkel der Mantellinien zur Drehachse. Die Kegelschnitte können auch zu Geradenpaaren entarten, wenn der Schnitt durch die Kegelspitze geführt wird. Je nach Schnittwinkel sind die Geraden imaginär (entartete Ellipse, nur die Kegelspitze ist reeller Teil der Schnittfigur), zusammenfallend (entartete Parabel) oder reell (entartete Hyperbel). 24 x 24 x 20 450 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 1959 78798-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff, Metall Darstellende Geometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Schnittaufgaben, Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-3-2/full/DSC_0064-k-ell.jpg 501 Parabolischer Schnitt eines Drehkegels Parabolic section of a right circular cone Section parabolique d'un cône de révolution Das Modell zeigt den Schnitt einer Ebene mit einem Drehkegel. Weil der Schnittwinkel der Ebene mit der Achse des Drehkegels gleich dem Öffnungswinkel des Kegels ist, entsteht als Schnittfigur eine Parabel. Die Parabelachse ist gekennzeichnet. Sie schneidet die Drehachse des Kegels. Die zur Parabelachse parallele Mantellinie und diejenige durch den Parabelscheitel sind schwarz gekennzeichnet. The plane parallel to the plane of the parabola through the apex of the cone is a tangency plane of the cone. The tangency line is marked in the model. Le plan d'intersection est parallèle à une seule génératrice. Der Schnitt von Ebene und Kreiskegel (Kegel 2. Ordnung) ist immer eine eine Kurve 2. Ordnung, ein sogenannter Kegelschnitt. An einem Drehkegel werden in dieser Modellserie die verschiedenen Gestalten durchgespielt, die ein Kegelschnitt haben kann: Ellipse, Parabel und Hyperbel. Die Gestalt des Kegelschnittes ist abhängig vom Winkel, den die Schnittebene zur Drehachse einnimmt, im Verhältnis zum Öffnungswinkel des Drehkegels, das ist der Winkel der Mantellinien zur Drehachse. Die Kegelschnitte können auch zu Geradenpaaren entarten, wenn der Schnitt durch die Kegelspitze geführt wird. Je nach Schnittwinkel sind die Geraden imaginär (entartete Ellipse, nur die Kegelspitze ist reeller Teil der Schnittfigur), zusammenfallend (entartete Parabel) oder reell (entartete Hyperbel). 24 x 24 x 20 420 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 1959 78799-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff, Metall Darstellende Geometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Schnittaufgaben, Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-3-2/full/DSC_0064-k-par.jpg 502 Hyperbolischer Schnitt eines Drehkegels Hyperbolic section of a right circular cone Section hyperbolique d'un cône de révolution Das Modell zeigt den Schnitt einer Ebene mit einem Drehkegel. Weil der Schnittwinkel der Ebene mit der Achse des Drehkegels kleiner als der Öffnungswinkel des Kegels ist, entsteht als Schnittfigur eine Hyperbel. Die Hyperbelachse ist gekennzeichnet. Sie schneidet die Drehachse des Kegels. The two lines, in which the plane parallel to the plane of the hyperbola through the apex of the cone intersects the surface of the cone are marked in the model. Le modèle montre la section hyperbolique d'un cône de révolution par un plan, qui coupe les deux nappes. Le modèle montre encore les deux génératrices du cône, en lesquelles le plan parallèle au plan de l'hyperbole par le sommet du cône coupe les nappes. Der Schnitt von Ebene und Kreiskegel (Kegel 2. Ordnung) ist immer eine eine Kurve 2. Ordnung, ein sogenannter Kegelschnitt. An einem Drehkegel werden in dieser Modellserie die verschiedenen Gestalten durchgespielt, die ein Kegelschnitt haben kann: Ellipse, Parabel und Hyperbel. Die Gestalt des Kegelschnittes ist abhängig vom Winkel, den die Schnittebene zur Drehachse einnimmt, im Verhältnis zum Öffnungswinkel des Drehkegels, das ist der Winkel der Mantellinien zur Drehachse. Die Kegelschnitte können auch zu Geradenpaaren entarten, wenn der Schnitt durch die Kegelspitze geführt wird. Je nach Schnittwinkel sind die Geraden imaginär (entartete Ellipse, nur die Kegelspitze ist reeller Teil der Schnittfigur), zusammenfallend (entartete Parabel) oder reell (entartete Hyperbel). 20 x 20 x 28 550 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 1959 97545-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff, Metall Darstellende Geometrie, Konstruktive Geometrie Sammlung Dresden Schnittaufgaben, Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-3-2/full/DSC_0064-k-hyp.jpg 503 Durchdringung zweier Drehkegel: Kurve mit Doppelpunkt Penetration of two right circular cones L'intersection de deux cônes droits circulaires Das Modell zeigt ein Durchdringungsphänomen von zwei Drehkegeln. Einer der beiden Kegel kann herausgezogen werden, so dass die Durchdringungskurve im anderen deutlich erkennbar wird. In diesem Modell haben beide Kegel eine gemeinsame Tangentialebene; die Schnittkurve, eine geschlossene Raumkurve vierter Ordnung, besitzt deshalb einen Doppelpunkt. The model shows the penetration of two right circular cones, whereas one of the cones can be pulled out in order to show the curve of intersection clearly. In this model both curves have a tangency plane in common; the curve of intersection has one double point. Le modèle montre l'intersection de deux cônes droits circulaires. On peut détirer un des cônes, ainsi la courbe de pénétration est bien visible. En modèle les deux cônes ont un plant tangent commun; la courbe de pènètration a un point double. Drehkegel sind Flächen zweiter Ordnung. Wenn sich zwei Flächen zweiter Ordnung schneiden, entsteht im Allgemeinen eine Schnittkurve vierter Ordnung. Diese kann maximal einen Doppelpunkt besitzen. Treten zwei Doppelpunkte auf, so zerfällt die Kurve in zwei (ebene) Kurven zweiter Ordnung. 19,5 x 22 / 14 x 24,5 400 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 1961 78789-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff, Metall Darstellende Geometrie, Elementarmathematik Sammlung Dresden Schnittaufgaben, Kurven 4. Ordnung Durchdringungen Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-4-3/full/DSC_0013-k-tang.jpg 513 Gärtnerkonstruktion einer Ellipse Gardener construction Construction jardinière Das Modell ist die Veranschaulichung der sogenannten "Gärtnerkonstruktion" der Ellipse. Es besteht aus einer geschwärzten Grundplatte, auf der zwei Punkte, die Brennpunkte der Ellipse, durch Stifte markiert sind. Zum Modell gehören drei verschieden lange endlose Fäden, sodass drei verschiedene Ellipsen mit den gleichen Brennpunkten (konfokale Ellipsen) gezeichnet werden können. The model demonstrates the so-called gardener or string construction of the ellipse. Three strings of different length belong to the model and therefore three different ellipses with the same foci can be drawn. Le modèle montre la construction jardinière d'une ellipse. Puisque le modèle contient trois fils de longueurs différentes, on peut tracer trois ellipses homofocales. Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte einer Ebene, deren Abstandssumme von zwei festen Punkten konstant ist. 29 x 41 x 3 650 Stoll (Rudolf Stoll K.G.; Oderbruchstraße 8-14, Berlin NO 18) 1959 78800-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Holz Darstellende Geometrie, Elementarmathematik Sammlung Dresden Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) Rudolf Stoll K.G. Stoll modellfotos/2005-Juni-4-3/full/DSC_0030-k.jpg 516 Elliptischer Kegelschnitt eines Drehkegels (zerlegbar) Das Modell zeigt einen Drehkegel und eine Schnittebene E, die mit der Drehachse einen größeren Winkel einschließt als die Erzeugenden des Kegels. Folglich schneidet E den Drehkegel nach einer Ellipse. Des weiteren zeigt das Modell die zugehörigen Dandelinschen Kugeln, deren Berührungspunkte mit E die Brennpunkte der Ellipse liefern. Die zur Herleitung der Brennpunkts- und Leitlinieneigenschaften der Ellipse erforderlichen Strecken sind im Modell dargestellt. 14,5 x 17,5 x 25 231 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff Darstellende Geometrie, Konstruktive Geometrie, Elementarmathematik Sammlung Dresden Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte), Schnittaufgaben Plexiglasmodelle modellfotos/2005-Juni-3-1/full/DSC_0183-k.jpg 517 Parabolischer Kegelschnitt (Plexiglas) Das Modell zeigt einen Drehkegel und eine Schnittebene E, die mit der Drehachse denselben Winkel einschließt sie die Erzeugenden des Kegels. Folglich schneidet E den Drehkegel nach einer Parbel. Des weiteren zeigt das Modell den Großkreis der Dandelinschen Kugel, der die Drehachse des Kegels und den Brennpunkt der Parabel enthält.Die zur Herleitung der Brennpunkts- und Leitlinieneigenschaften der Parabel erforderlichen Strecken sind im Modell enthalten. 11,5 x 12 x 21 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff Darstellende Geometrie, Konstruktive Geometrie, Elementarmathematik Sammlung Dresden Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte), Schnittaufgaben Plexiglasmodelle modellfotos/2005-Juni-3-1/full/DSC_0189-k.jpg 518 Hyperbolischer Schnitt eines Drehkegels (Plexiglas) Das Modell zeigt einen Drehkegel und eine Schnittebene E, die mit der Drehachse einen kleinern Winkel einschließt als die Erzeugenden des Kegels. Folglich schneidet E den Drehkegel nach einer Hyperbel. Die Dandelinschen Kugeln sind durch Großkreise angedeutet, die sowohl die Kegelachse als auch die Brennpunkte der Hyperbel enthalten. Die zur Herleitung der Brennpunkts- und Leitlinieneigenschaften der Hyperbel erforderlichen Strecken sind im Modell enthalten. 11 x 11,5 x 17,5 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Kunststoff Darstellende Geometrie, Konstruktive Geometrie, Elementarmathematik Sammlung Dresden Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte), Schnittaufgaben Plexiglasmodelle modellfotos/2005-Juni-3-1/full/DSC_0194-k.jpg 521 Dreiecksprisma (Kantenmodell) Das Modell zeigt ein gerades Prisma, dessen Leitpolygon ein gleichseitiges Dreieck ist. Eine Prisma ist ein Polyeder, dessen Kanten alle zueinander parallel sind. Es wird durch ein Leitpolygon festgelegt. 13 x 15 x 25 157 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Elementarmathematik Sammlung Dresden Polyeder Grundkörper modellfotos/2005-Juni-3-1/full/DSC_0029-k.jpg 522 Quader (Kantenmodell) Das Modell zeigt einen Quader. Der Quader kann in dreierlei Hinsicht als Prisma gedeutet werden, je nachdem, welche Facette man als Leitpolygon auswählt. Eine Prisma ist ein Polyeder, dessen Kanten alle zueinander parallel sind. Es wird durch ein Leitpolygon festgelegt. 15 x 15 x 25 209 97583-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Elementarmathematik Sammlung Dresden Polyeder Grundkörper modellfotos/2005-Juni-3-1/full/DSC_0032-k.jpg 523 gerades Sechseckprisma (Kantenmodell) Das Modell zeigt ein gerades Prisma, dessen Leitpolygon ein regelmäßiges Sechseck ist. Grund- und Deckfläche sind kongruent. Eine Prisma ist ein Polyeder, dessen Kanten alle zueinander parallel sind. Es wird durch ein Leitpolygon festgelegt. 15,5 x 17,5 x 25 244 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Elementarmathematik Sammlung Dresden Polyeder Grundkörper modellfotos/2005-Juni-3-1/full/DSC_0035-k.jpg 524 Kugel (Großkreismodell) Das Model zeigt von einer Kugel drei Großkreise, die sich paarweise orthogonal schneiden. 25 x 25 x 25 227 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Elementarmathematik Sammlung Dresden Flächen 2. Ordnung (Quadriken), Algebraische Flächen, Drehflächen Grundkörper modellfotos/2005-Juni-3-1/full/DSC_0038-k.jpg 525 gerade Sechseckpyramide (Kantenmodell) Das Modell zeigt eine gerade Pyramide, deren Leitpolygon ein gleichseitiges Sechseck ist. Eine Pyramide ist ein Polyeder, dessen Kanten alle durch eine Spitze S gehen. Es wird durch ein Leitpolygon festgelegt. 15 x 17,5 x 25 204 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Elementarmathematik Sammlung Dresden Polyeder Grundkörper modellfotos/2005-Juni-3-1/full/DSC_0003-k.jpg 526 gerade quadratische Pyramide (Kantenmodell) Das Modell zeigt eine gerade Pyramide, deren Leitpolygon ein Quadrat ist. Eine Pyramide ist ein Polyeder, dessen Kanten alle durch eine Spitze S gehen. Es wird durch ein Leitpolygon festgelegt. 15 x 15 x 23 154 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Elementarmathematik Sammlung Dresden Polyeder Grundkörper modellfotos/2005-Juni-3-1/full/DSC_0006-k.jpg 527 Ikosaeder (Kantenmodell) Das Ikosaeder besitzt 20 gleichseitige Dreiecksfacetten und gehört zu den fünf platonischen Körpern. Es ist zum Dodekaeder dual. Das heißt den 12 Ecken des Ikosaeders entsprechen die 12 Facetten des Dodekaeders. 29 x 25,5 x 24 455 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Elementarmathematik Sammlung Dresden Polyeder Grundkörper modellfotos/2005-Juni-3-1/full/DSC_0009-k.jpg 528 Oktaeder (Kantenmodell) Das Modell zeigt ein Oktaeder, das 8 gleichseitige Dreiecksfacetten besitzt. Es gehört zu den platonischen Körpern. 29 x 25 x 20 292 97585-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Elementarmathematik Sammlung Dresden Polyeder Grundkörper modellfotos/2005-Juni-3-1/full/DSC_0017-k.jpg 529 Drehzylinder (Erzeugenden- und Kantenmodell) Das Modell zeigt einen geraden Zylinder, dessen Leitkurve ein Kreis ist (Drehzylinder, gerader Kreiszylinder). Neben dem Leitkreis und einem dazu kongruenten Kreis sind fünf Erzeugende dargestellt. Ein Zylinder ist eine Regelfläche (eine durch Geraden erzeugte Fläche) durch einen uneigentlichen Punkt (Fernpunkt) und wird durch eine Leitkurve festgelegt. Alle Erzeugenden der Fläche treffen also die Leitkurve und sind zueinander parallel. Meist wird die Leitkurve eben gewählt. Ein Zylinder heißt gerade, wenn seine Mantellinien (Erzeugenden) zur Trägerebene der Leitkurve normal sind. Die Zylinder zählen, neben den Kegeln und Torsen, zu den abwickelbaren Flächen. Die Fläche ist somit einfach gekrümmt und besteht im Allgemeinen ausschließlich aus parabolischen Punkten. 14,5 x 25 211 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Elementarmathematik Sammlung Dresden Flächen 2. Ordnung (Quadriken), Drehflächen, Regelflächen Grundkörper modellfotos/2005-Juni-3-1/full/DSC_0020-k.jpg 530 Drehkegel (Erzeugenden- und Kantenmodell) Das Modell zeigt einen geraden Kegel, dessen Leitkurve ein Kreis ist (Drehkegel, gerader Kreiskegel). Neben dem Leitkreis sind fünf Erzeugende dargestellt. Die Darstellung des Kegels beschränkt sich auf den Ausschnitt zwischen Spitze und Leitkreis. Ein Kegel ist eine Regelfläche (eine durch Geraden erzeugte Fläche) durch einen (eigentlichen) Punkt (Spitze) und wird durch eine Leitkurve festgelegt. Alle Erzeugenden der Fläche treffen also die Leitkurve und enthalten die Spitze. Meist wird die Leitkurve eben gewählt und die Spitze befindet sich dann zwingend außerhalb der Trägerebene der Kurve. Ein Kegel heißt gerade, wenn er eine Symmetrieachse besitzt, die zur Trägerebene der Leitkurve normal ist. Auch alle Sekanten einer Raumkurve durch einen festen Kurvenpunkt bilden einen Kegel. Dann ist die Spitze ein Element der Leitkurve. Weitere Vorkommen von Kegeln sind Seh- und Lichtkegel. Die Kegel gehören, neben den Zylindern und Torsen, zu den abwickelbaren Flächen. Die Fläche ist somit einfach gekrümmt und besteht im Allgemeinen und mit Ausnahme der Spitze, die ein singulärer Punkt ist, ausschließlich aus parabolischen Punkten. 14,5 x 25,5 172 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Elementarmathematik Sammlung Dresden Flächen 2. Ordnung (Quadriken), Regelflächen, Drehflächen Grundkörper modellfotos/2005-Juni-3-1/full/DSC_0023-k.jpg 531 Dreieckspyramide (Kantenmodell) Das Modell zeigt eine gerade Pyramide, deren Leitpolygon ein gleichseitiges Dreieck ist. Eine Pyramide ist ein Polyeder, dessen Kanten alle durch eine Spitze S gehen. Es wird durch ein Leitpolygon festgelegt. 13 x 15 x 24 116 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Elementarmathematik Sammlung Dresden Polyeder Grundkörper modellfotos/2005-Juni-3-1/full/DSC_0026-k.jpg 532 Würfel (Kantenmodell) Das Modell zeigt einen Würfel. Er kann in dreierlei Hinsicht als gerades quadratisches Prisma gedeutet werden. Der Würfel, auch Hexaeder genannt, ist einer der fünf platonischen Körper. Er kann außerdem durch fortschreitende Spezialisierung aus Parallelepiped und Quader abgeleitet werden. Im Modell sind durch Fäden eine Raumdiagonale (schwarz) und ein zu dieser Raumdiagonalen normales und regelmäßiges Sechseck (rot) markiert. Das regelmäßige Sechseck halbiert den Würfel. Die Kanten sind die Verbindungsstrecken der Mittelpunkte von sechs Würfelkanten. 24,5 x 24,5 x 24,5 287 97582-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Elementarmathematik Sammlung Dresden Polyeder Grundkörper modellfotos/2005-Juni-3-1/full/DSC_0043-k.jpg 533 kleiner Würfel (Kantenmodell) Das Modell zeigt ein Würfel, der eine quadratische Grundfläche besitzt. Der Würfel, auch Hexaeder genannt, ist einer der fünf platonischen Körper. Er kann außerdem durch fortschreitende Spezialisierung aus Parallelepiped und Quader abgeleitet werden. Im Modell sind durch Fäden eine Raumdiagonale (blau) und ein zu dieser Raumdiagonalen normales und regelmäßiges Sechseck (rot) markiert. Das regelmäßige Sechseck halbiert den Würfel. Die Kanten sind die Verbindungsstrecken der Mittelpunkte von sechs Würfelkanten. 15 x 15 x 15 273 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Elementarmathematik Sammlung Dresden Polyeder Grundkörper modellfotos/2005-Juni-3-1/full/DSC_0047-k.jpg 535 Pentagondodekaeder (Kantenmodell) Dodecahedron (edge model) Das Modell zeigt ein Pentagondodekaeder oder einfach nur Dodekaeder, das 12 gleichseitige Fünfecksfacetten besitzt. Es gehört zu den fünf platonischen Körpern und ist zum Ikosaeder dual. Das heißt den 20 Ecken des Dodekaeders entsprechen die 20 Facetten des Ikosaeders. 30,5 x 28,5 x 24,5 321 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Elementarmathematik, Darstellende Geometrie Sammlung Dresden Polyeder Grundkörper modellfotos/2005-Juni-2/full/DSC_0402-k.jpg 554 Räumliche Hyperbel Die Raumkurven dritter Ordnung stehen als Raumkurven niedriger Ordnung den ebenen Kegelschnitten an Wichtigkeit und in mancherlei Eigenschaften nahe. Wiener (Wiener H., Treutlein P.; Leipzig) 1993 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Herrmann Wiener Algebraische Geometrie Sammlung Dresden Kurven 3. Ordnung Wiener H., Treutlein P. Wiener modellfotos/2003-1/full/10_54.jpg 555 Räumliche hyperbolische Parabel Die Raumkurven dritter Ordnung stehen als Raumkurven niedriger Ordnung den ebenen Kegelschnitten an Wichtigkeit und in mancherlei Eigenschaften nahe. Wiener (Wiener H., Treutlein P.; Leipzig) 1993 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Metall lackiert Herrmann Wiener Algebraische Geometrie Sammlung Dresden Kurven 3. Ordnung Wiener H., Treutlein P. Wiener modellfotos/2003-1/full/10_55.jpg 557 Regelfläche 4. Ordnung mit einer Doppelkurve 3. Ordnung und vier reellen Zwickpunkten Die Fläche besteht aus einem einzigen Flächenteil (ein Mantel), der aus reellen und ideellen Doppelsekanten der Raumkurve dritter Ordnung gebildet wird. Die Doppelkurve besteht aus zwei Stücken. Der Fläche gehören vier Tangenten der Raumkurve an, welche den Übergang von den reellen zu den ideellen Sekanten bilden. Ein Modell diesen Typs wurde 1935 von Man Ray fotografiert. Er hat das Modell zu diesem Zweck auf ein zweites Modell gestellt (<a href="http://www.math.tu-dresden.de/modellsammlung/karte.php?ID=438">Raumkurve 4. Ordnung erster Art</a>) und aus zwei Richtungen aufgenommen. 18 x 18 Schilling (Verlag Martin Schilling) 04.11.1960 78830-000 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Seidenfäden, Metall Karl Rohn (1855-1920) Liniengeometrie, Algebraische Geometrie Sammlung Dresden Regelflächen, Flächen 4. Ordnung (Quartiken) Regelflächen 4. Ordnung, Rohn Schilling modellfotos/2005-Juni-4-1/full/DSC_0102.jpg 558 Tetraederfraktal (T-Fraktal) Das Tetraederfraktal ist ein Flächenfraktal und kann als Analogon zur Koch-Kurve aufgefasst werden. Die vier Facetten des regulären Tetraeders werden in je vier gleichseitige Dreiecke geteilt. Über den mittleren Dreiecken werden neue (kleinere) Tetraeder errichtet und die Grundflächen entfernt. Dieser Vorgang wird fortwährend mit allen neuen Facetten wiederholt. Dabei entsteht in der ersten Iterationsstufe die <a href="https://mathematical-models.org/models/view/564">Stella octangula</a>. Die acht Spitzen der Stella Octangula sind die Ecken eines Grenzwürfels, dessen Volumen das Tetraederfraktal ausfüllt. Der Flächeninhalt des Tetraederfraktals ist unendlich groß. Das T-Fraktal umschließt eine Punkmenge mit dem Volumen <code>V = 1/4*a^3*sqrt(2)</code>. Dabei ist <code>a</code> die Kantenlänge des Start-Tetraeders. Das harmoniert mit der Feststellung, dass das T-Fraktal einen Grenzwürfel hat. Die Dimension des T-Fraktals beträgt <code>d = 1+(ln(3)/ln(2)) ~ 2,5849</code>. je 5,3 x 5,3 x 5,3 53, 79, 98, 129 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle 3-D-Druck auf Gipsbasis Daniel Lordick Fraktale Geometrie Sammlung Dresden Daniel Lordick modellfotos/2005-Juni-3-1/full/DSC_0120.jpg 560 Würfelfraktal (W-Fraktal) Das Würfelfraktal ist ein Flächenfraktal. Die sechs Facetten eines Würfels mit der Kantenlänge <code>a</code> werden in je neun kongruente Quadrate mit der Kantenlänge <code>a/3</code> geteilt. Über den mittleren Quadraten werden insgesamt sechs neue Würfel errichtet und die Kontaktflächen mit dem Start-Würfel entfernt. Insgesamt gibt es jetzt 78 Quadrate, mit denen nach dem gleichen Muster verfahren wird. Fortgesetzte Anwendung des Verfahrens liefert eine geschlossene Fläche, das W-Fraktal. Die konvexe Hülle des W-Fraktals ist ein Rhombendodekaeder. Das einhüllende Rhombendodekaeder (sein Volumen ist <code>2*a^2</code>) wird vom W-Fraktal nicht ausgefüllt. Das Volumen des W-Fraktals ist nur <code>V = 10/7*a^3</code>. Der Flächeninhalt des W-Fraktals ist unendlich. Die Dimension des W-Fraktals beträgt <code>d = ln(13)/ln(3) ~ 2,3347</code>. 175 x 175 x 195 2119 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle 3-D-Druck auf Gipsbasis Daniel Lordick Fraktale Geometrie Sammlung Dresden modellfotos/2005-Juni-1/full/DSC_0171-k.jpg 561 Menger-Schwamm (groß) Der Mengerschwamm ist ein räumliches Analogon zum Sierpinski-Teppich. In jedem Iterationsschritt wird der Würfel (bzw. jeder der Teilwürfel) in <code>27 = 3*3*3</code> Teilwürfel zerlegt und sieben dieser Teilwürfel (nicht vom Rand, sondern aus dem Zentrum und aus den Facettenmitten) werden entfernt. Das fortgesetzte Durchführen dieses Verfahrens führt zu einer Aushöhlung des Würfels und nach unendlich vielen Iterationsschritten zum Menger-Schwamm. Der Menger-Schwamm hat die Haussdorff-Dimension <code>d = ln(20)/ln(3) ~ 2,7268</code>. Das Volumen des Menger-Schwamms ist null, die Oberfläche unendlich. 16,2 x 16,2 x 16,2 bzw. 5,4 x 5,4 x 5,4 1275; 69,5; 112,5 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle 3-D-Druck auf Gipsbasis Daniel Lordick Fraktale Geometrie Sammlung Dresden Daniel Lordick modellfotos/2005-Juni-2/full/DSC_0250-k.jpg 562 Y-Fraktal nach zehn Iterationsstufen Das Y-Fraktal ist ein räumliches Analogon zum Pythagoras-Baum. Das Modell zeigt eine symmetrische Variante, bei der in jedem Iterationsschritt das Grundmodul um 90° gedreht wird. Das Ergebnis erinnert an eine Koralle. Das Modell hat <code>2^{10} = 1024</code> Zweige der kleinsten Stufe. 13 x 18,4 x 12,5 202 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle 3-D-Druck auf Gipsbasis Daniel Lordick Fraktale Geometrie 3D LAB B25 modellfotos/2005-Juni-2/full/DSC_0256-k.jpg 563 Menger-Schwamm der dritten Iterationsstufe und Komplement Die beiden Modelle zeigen den Menger-Schwamm nach drei Iterationsstufen sowie das Volumen, das dem Ausgangswürfel mit der Kantenlänge <code>a</code> entnommen wurde, um den Menger-Schwamm in der dritten Iterationsstufe zu erzeugen. Nach unendlich vielen Iterationsstufen hat der Menger-Schwamm das Volumen null und das Komplement das Volumen <code>a^3</code>. je 5,3 x 5,3 x 5,3 69,5 (Schwamm); 112,5 (Komplem TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle 3-D-Druck auf Gipsbasis Daniel Lordick Fraktale Geometrie Sammlung Dresden 3D LAB B25 modellfotos/2005-Juni-3-1/full/DSC_0122-k.jpg 564 Sterntetraeder (Stella octangula, Keplerstern) Stellated octahedron Das Sterntetraeder ist der einzige Sternkörper (engl.: stellation) des Oktaeders. Es handelt sich um einen achtstrahligen Stern, dessen Spitzen die Ecken eines Würfels bilden. Das Sterntetraeder entsteht durch Verschmelzen von zwei bezüglich ihrer Zentren zueinander punktsymmetrischen Tetraedern. Die Schnittmenge der beiden Tetraeder ist ein reguläres Oktaeder. Das silbrige Stabmodell zeigt dieses Oktaeder in der Mitte. Das Sterntetraeder ist außerdem die erste Iterationsstufe des <a href="https://mathematical-models.org/models/view/558">Tetraederfraktals (T-Fraktal)</a>. The stellated octahedron, or stella octangula, is the only stellation of the octahedron. It was named by Johannes Kepler in 1609, though it was known to earlier geometers. It was depicted in Pacioli's Divina Proportione, 1509. Das Sterntetraeder ist topologisch äquivalent zum Triakisoktaeder, einem der catalanischen Körper. Übrigens hat Hellmuth Stachel die Beweglichkeit der beiden ineinandergesteckten Tetraeder untersucht, wenn diese einander entlang der Kanten berühren. Zwei Arten von Bewegungen lassen sich unterscheiden. 5,3 x 5,3 x 5,3 10,3 x 10,3 x 10,3 5,8 x 5,8 x 5,8 79 141 (Stabmodell) 23 (2 Tetraeder) TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle 3-D-Druck auf Gipsbasis Daniel Lordick Polyedergeometrie, Elementarmathematik Sammlung Dresden Polyeder 3D LAB B25 modellfotos/2005-Juni-3-1/full/DSC_0071.jpg 567 Minimaler Knotenkasten Das Modell zeigt das Bild einer Fläche in der dreidimensionalen Sphäre S^3 mit ausgezeichneten Eigenschaften unter einer stereographischen Projektion. <ul><li>Die Fläche ist eine unberandete verzweigte Minimalfläche in S^3. Der Verzweigungsort ist ein Kreis. Wird dieser entfernt bleibt ein Möbiusband übrig.</li> <li>Sie ist ein Deformationsretrakt des Komplements des Kleeblattknotens. </li> <li>Sie ist der Schnittort eines Kleeblattknotens in S^3, d.h. der Ort aller Punkte, von denen mindestens zwei Punkte des Knotens denselben minimalen Abstand haben. </li> <li>Sie ist hochsymmetrisch (invariant unter einer ein-Parametergruppe von Isometrien der S^3. </li> <li>In der natürlichen Parametrisierung sind die einen Parameterlinien Kreisbögen, die die anderen Parameterlinien orthogonal schneiden. Diese sind (bis auf den Verzweigungskreis) Kleeblattknoten. </li> </ul> 20 x 15 x 9,5 255 TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle 3-D-Druck auf Gipsbasis Ulrich Brehm Differentialgeometrie, Topologie Sammlung Dresden Minimalflächen, einseitige Flächen, Knoten 3D LAB B25 modellfotos/2005-Juni-2/full/DSC_0273-k.jpg 569 Kubische Ellipse auf einem elliptischen Zylinder Cubic Ellipse on a Cubic Cylinder Die Raumkurven dritter Ordnung (kubische Raumkurven) können in vier Typen unterschieden werden, je nachdem wie sie die Fernebene schneiden. Die Gipsmodelle der Serie VI, Nr. 6 aus dem Katalog von Martin Schilling (1911) zeigen die vier Typen auf Zylindern zweiter Ordnung (quadratische Zylinder). Das Modell 6a trägt die kubische Ellipse auf einem elliptischen Zylinder. Die kubische Ellipse schneidet die Fernebene in einem reellen und zwei imaginären Punkten. Die Kurve hat eine Mantellinie des Zylinders als Asymptote, welche im Modell aber nicht hervorgehoben wurde. Schilling (Verlag Martin Schilling) TU Dresden Sammlung Mathematische Modelle Gips Felix Klein (1849-1935) Algebraische Geometrie Sammlung Dresden Kurven 3. Ordnung kgl. TH München Schilling modellfotos/2003-2/full/16_57.jpg